Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Нет ответа и на другой интересный вопрос: бесконечно ли множество совершенных чисел? Можно ли продолжать находить совершенные числа, как бы далеко мы ни продвигались по множеству натуральных чисел? Или же где-то существует самое большое совершенное число?

Эта задача еще не решена и тесно связана с числами Мерсенна, к которым мы еще вернемся.

Раз уж мы живем в эпоху диет, можно сказать, что натуральные числа делятся на три категории: совершенные, «толстые» и «тонкие». У «толстого» числа сумма собственных делителей больше самого числа, а сумма собственных делителей «тонкого» числа (вы, наверное, уже догадались…) меньше самого этого числа[11]. Например, 12 – число упитанное, потому что сумма его делителей (1, 2, 3, 4 и 6) равна 16. А вот 10 – число худощавое, так как 1 + 2 + 5 = 8.

А как обстоит дело с женскими числами? То есть нечетными? Бывает ли и у них лишний вес? Существуют ли такие нечетные числа, суммы собственных делителей которых больше самих этих чисел? Если немного поэкспериментировать, может показаться, что сложение собственных делителей нечетного числа всегда дает значение, меньшее самого числа (проверьте несколько чисел и убедитесь в этом сами). Если брать только числа меньше 900, можно прийти к убеждению, что нечетные числа никогда не бывают «толстыми». Но пусть это вас не обманывает! Исследование конечного количества чисел, каким бы большим оно ни было, не означает, что следующее число не окажется исключением из правила. На самом деле нечетные числа бывают «толстыми»: сумма собственных делителей 945 (сложите 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 63, 105, 135, 189 и 315) равна… 975. Таким образом, мы открыли число 945 – наименьшее «толстое» нечетное число. И все же избыточный вес встречается у нечетных чисел довольно редко.

Мы еще вернемся в этой книге к теме совершенных чисел.

Попытки создания «окончательных» списков иногда приводят к возникновению парадоксов следующего типа: из самого определения немедленно следует, что объект, задаваемый этим определением, должен быть исключен из списка. Что это значит?

Представим себе, что мы составляем два списка. Один из них – это список имен всех интересных людей на свете в порядке их интересности. Второй – список всех остальных. Он тоже будет упорядоченным: от самого скучного человека на свете до «слегка» неинтересного.

Вот как выглядят верхние части обоих списков.

Интересные люди: Пифагор, Леонардо да Винчи, Клеопатра, Моцарт, Эйнштейн, Мэрилин Монро, Сократ, Мессалина, Байрон, Наполеон, Будда, Жанна д’Арк, Александр Македонский…

Неинтересные люди: Реджинальд Зевокк, Брунгильда Дремотная, Якоб Снотвор, Владимир Сиестин, Билл Занудинг, Найлз Коматоз, Бернард Нуичтович, Карл Спячкин, Гарри Тоскливер, Тим Тупп…

Однако не все так просто. Вот, например, Реджинальд Зевокк. Если верить нашему списку, он самый скучный человек на свете. Но сам этот факт делает его человеком интересным. Ну в самом деле представьте себе титул САМОГО скучного человека в мире! Поэтому мы должны перенести его в список интересных людей. Разумеется, он не попадет даже близко к вершине этого списка, но тем не менее должен оказаться в нем, причем, вероятно, на каком-нибудь вполне достойном месте.

А теперь посмотрите, что происходит дальше. Поскольку мы убрали Реджинальда из скучного списка, теперь самым скучным человеком на свете стала Брунгильда Дремотная. Но это, в свою очередь, делает несколько интересной ее, что означает, что и ее следует перенести в первый список. Если мы продолжим этот процесс, мы неизбежно придем к выводу, что в мире вообще нет – и никогда не было – ни одного неинтересного человека. Я уверен, что вы давно уже обнаружили ошибку этого рассуждения.

В мире математики существует своя популярная версия парадокса скучных людей: в ней речь идет о множестве натуральных чисел, которые невозможно описать, используя менее 1000 слов. Отметим, что количество слов конечно (например, двадцатое издание «Оксфордского словаря английского языка» содержит ровно 171 476 слов), а в нашем распоряжении ограниченное число слов (1000), следовательно, и количество таких чисел конечно. Тем не менее существует наименьшее натуральное число, которое невозможно описать, используя менее 1000 слов. Обозначим его n и определим его следующим образом: «Наименьшее число, описание которого требует не менее одной тысячи слов».

Но что это?! Мы только что описали число n десятью словами (убедитесь сами), а следовательно, число n попадает в список чисел, которые можно описать, используя менее 1000 слов, что противоречит нашему определению этого числа.

Число n и Реджинальд Зевокк оказываются в этих двух парадоксах в одном и том же положении. Оба они определены как элементы некоторого списка, но затем их приходится исключать из этого списка в силу самого этого определения.

В чем проблема с этими двумя парадоксами? Математики терпеть не могут парадоксов и всегда ищут какое-нибудь объяснение, которое помогло бы им сохранить душевное спокойствие. Однако в этих случаях необходимо отметить, что мы использовали нематематическое свойство «можно описать», так и не дав его смыслу точного определения.

Это подводит нас к следующей теме нашего разговора.

Можно ли сказать, что некоторые числа более или менее интересны, чем другие?

Пифагор считал, что скучных чисел вообще не существует, что любое и каждое число чем-нибудь да интересно, что каждое число имеет по меньшей мере одно свойство, делающее его уникальным, или таит в себе нечто красивое или особенное.

А поскольку Пифагор придавал числам огромное значение, он стремился не только понять их с математической точки зрения, но и разглядеть в каждом из них красоту, загадку или тайну.

Какие именно характеристики числа делают его особенным или привлекательным? Это, по-моему, вопрос вкуса. «Привлекательна» ли принадлежность к совершенным числам? На мой взгляд, привлекательна. Мне также кажутся интересными пары дружественных чисел – эти числа по-настоящему умеют дружить. Было бы желание, а красоту можно найти в чем угодно – недаром говорят, что красота в глазу смотрящего.

Посмотрим, например, на число 64. В том факте, что 64 – квадрат 8 (8² = 64), нет ничего особенно выдающегося: многие другие числа тоже являются полными квадратами. Но число 64 может быть выражено и следующим образом: 64 = 26 = 4³.

Это уже гораздо интереснее. Оказывается (и это очень легко проверить), 64 – первое число (не считая 1), которое является не только квадратом (то есть второй степенью некоторого числа), но и третьей и шестой степенями.