Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

В розыгрыше лотереи выпадает по шесть чисел – скажем, 4, 7, 10, 11, 34 и 46. Если произойдет маловероятное событие, эти числа совпадут с числами в одном из ваших лотерейных билетов – и вы получаете джекпот. Но даже если этого не произойдет, вы все равно сможете выиграть кучу денег по тем лотерейным билетам, в которых совпадут пять из шести чисел. Есть ли у вас билет с числами 4, 7, 10, 11, 34? В одном из билетов Деннистона такие числа есть, а значит, единственный случай, когда у вас не окажется такого билета, – если в нем были числа 4, 7, 10, 11, 34, 47 или 4, 7, 10, 11, 34, 48, поэтому вы его выбросили.

Но как насчет другой комбинации из пяти чисел, скажем 4, 7, 10, 11, 46? Может быть, вам не повезло в первый раз, потому что билет с числами 4, 7, 10, 11, 34, 47 был одним из билетов Деннистона. Но в таком случае билет 4, 7, 10, 11, 46, 47 не может быть в списке Деннистона, поскольку пять чисел этого билета совпадают с пятью числами билета, который, как вам известно, входит в этот список. Другими словами, если из-за злополучного числа 47 вы упустите один из призов за пять угаданных чисел, это не приведет к тому, что вы упустите и все остальные призы. То же самое можно сказать и о числе 48. Вот список возможных выигрышных билетов в категории «Пять угаданных чисел из шести»:

4, 7, 10, 11, 34

4, 7, 10, 11, 46

4, 7, 10, 34, 46

4, 7, 11, 34, 46

4, 10, 11, 34, 46

7, 10, 11, 34, 46

Минимум четыре из этих билетов гарантированно окажутся среди ваших. В действительности, если вы купите 217 833 лотерейных билета Деннистона, у вас будет такая вероятность выигрыша:

Сравните этот подход со стратегией Селби, который выбирал числа случайным образом с помощью функции Quic Pick. В этом случае существует небольшая вероятность 0,3 % вообще потерять все призы категории «Пять угаданных чисел из шести». Более того, вероятность выиграть только один приз этой категории составляет 2 %, два приза – 6 %, три приза – 11 % и четыре приза – 15 %. Гарантированная прибыльность стратегии Деннистона уступает место риску. Безусловно, у этого риска есть свое преимущество: команда Селби может выиграть более шести таких призов с вероятностью 32 %, что невозможно в случае выбора лотерейных билетов по системе Деннистона. Билеты Селби, билеты Деннистона и любые другие билеты имеют одну и ту же ожидаемую ценность, однако метод Деннистона защищает игрока от воли случая. Чтобы играть в лотерею, ничем не рискуя, недостаточно играть сотнями тысяч билетов; необходимо играть правильными сотнями тысяч билетов.

Является ли эта стратегия причиной того, что члены группы Random Strategies тратили так много времени на заполнение сотен тысяч лотерейных билетов вручную? Использовали ли они систему Деннистона, разработанную в духе чистой математики, ради того чтобы выкачать деньги из лотереи без всякого риска для себя? Здесь мои изыскания зашли в тупик. Мне удалось связаться с Юраном Ли, но он не знал наверняка, как выбирались эти билеты; он сказал только, что у них в общежитии был человек, к которому они обращались за помощью и который занимался всеми вопросами, связанными с алгоритмом выбора чисел. Я не уверен, использовал ли этот человек систему Деннистона или что-то в этом роде. Но если нет, то думаю, ему следовало бы так поступить.

К настоящему моменту мы всеми возможными способами обосновали вывод о том, что решение играть в лотерею почти всегда является неудачным с точки зрения ожидаемого количества денег, а также что в тех редких случаях, когда ожидаемая денежная стоимость лотерейного билета превышает его цену, необходимо очень тщательно подходить к вопросу извлечения максимальной пользы из тех билетов, которые вы покупаете.

Учитывая все это, экономистам с математическим складом мышления придется объяснить один неудобный факт – тот самый, что более двух сотен лет назад озадачил Адама Смита. Лотереи очень и очень популярны. Дело в том, что лотерея – совсем не та ситуация, которую изучал Эллсберг. Когда люди сталкиваются с проблемой принятия решений при неизвестных обстоятельствах, которые невозможно установить. Крошечный шанс выиграть в лотерею выставлен на всеобщее обозрение. Закон, гласящий, что люди склонны принимать решения, которые в той или иной степени приносят им максимальную пользу, является одним из столпов экономики и действительно позволяет моделировать поведение в самых разных областях, от ведения бизнеса до выбора спутника жизни. Но это не касается лотереи. Для определенной категории экономистов такое иррациональное поведение в такой же мере неприемлемо, как для пифагорейцев была неприемлемой иррациональная длина гипотенузы. Подобное не вписывается в их модель происходящего – и все же оно имеет место быть.

Экономисты мыслят более гибко, чем пифагорейцы. Вместо того чтобы в ярости топить гонцов с плохими вестями, они адаптируют свои модели к реальности. Одну известную интерпретацию предложили наши старые друзья Милтон Фридман и Леонард Сэвидж, которые предположили, что игроки в лотерею придерживаются волнообразной кривой полезности, отображающей тот факт, что люди думают о богатстве в категориях классов, а не в количественных величинах. Если вы, будучи представителем среднего класса, тратите на лотерею пять долларов в неделю и проигрываете, такое решение обходится вам в небольшую сумму денег, но не меняет ваш социальный статус: несмотря на потерю денег, отрицательная полезность почти близка к нулю. Но, если вы выиграете, это переведет вас в другую социальную группу. Вы можете считать это моделью «смертного одра»: когда вы окажетесь при смерти, будет ли вас беспокоить мысль, что вы умираете с несколько меньшим количеством денег – и все потому, что любили играть в лотерею? По всей вероятности, нет. Будет ли для вас иметь значение тот факт, что в тридцать пять лет вы ушли на пенсию и остаток жизни провели где-то на Карибских островах, занимаясь подводным плаваньем, – и все потому, что выиграли большой приз в лотерею? Да, будет.

Еще больше отдалившись от классической теории, Даниель Канеман и Амос Тверски выдвинули предположение, что люди в основном склонны придерживаться образа действий, отличающегося от того, что предписывает кривая полезности, причем не только когда Дэниел Эллсберг ставит перед ними свою урну, но и в целом в жизни. Их работа о теории перспектив, за которую Канеман впоследствии получил Нобелевскую премию, рассматривается сейчас в качестве основополагающей в концепции бихевиористской экономики, чья задача состоит в создании максимально точной модели поведения людей: как они действуют на самом деле, а не как должны действовать согласно абстрактной концепции рациональности. Теория Канемана – Тверски гласит: люди склонны придавать маловероятным событиям большее значение по сравнению с человеком, придерживающимся аксиом Неймана – Моргенштерна. Именно поэтому притягательность джекпота превосходит уровень, который можно было бы считать приемлемым согласно строгой оценке ожидаемой полезности.