Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Однако идеи Карла XII были не лишены логики. На каком основании мы должны придерживаться десятичной системы лишь из-за того, что она возникла из числа пальцев у нас на руках и на ногах? Если бы люди были, например, кем-то вроде диснеевских персонажей всего с четырьмя пальцами на каждой руке, то почти наверняка мы бы жили в мире с основанием 8: ставили отметки исходя из высшего балла 8, составляли бы списки первых восьми победителей, а в гривеннике было бы восемь копеек. Математика нисколько не изменилась бы из-за введения альтернативного способа группировки чисел. Воинственный швед был прав, ставя вопрос о том, какое основание лучше всего подходит к нашим научным потребностям, и не полагаясь на систему, которая в максимальной степени соответствует нашей анатомии.

* * *

Как-то раз субботним утром в конце 1970-х годов в Чикаго Майкл де Флигер смотрел по телику мультфильмы. Начался очередной мультик. Сначала зазвучала музыка — диссонансное сочетание звуков расстроенного пианино, бренчания гитары и зловещего рева контрабаса. Действие происходило ночью, на небе ярко светила луна и сияли звезды. Вдруг появился странный гуманоид — во фраке в бело-синюю полоску, на голове — цилиндр. У гуманоида были светлые волосы и вытянутый нос, что до некоторой степени соответствовало моде той эпохи глэм-рока. И последний штрих в довершение отталкивающего образа — по шесть пальцев на руках и на ногах. «Это было что-то уродское, типа привидения, — вспоминает Майкл. — Мультик, называвшийся „Little Twelvetoes“ („Маленькие Двенадцатипальчики“), оказался образовательным фильмом, посвященным счету с основанием 12. Подозреваю, что подавляющая часть американцев вообще не врубилась в то, что там происходило. Но мне это показалось очень даже крутым».

Сейчас Майклу 38 лет. Я встретился с ним в его офисе, который размещается в жилой части Сент-Луиса, штат Миссури. У него густые темные волосы с первыми признаками седины, круглое лицо, темные глаза и смугловатая кожа. Его мать — филиппинка, а отец — белый. Из-за принадлежности к смешанной расе все детство Майкл страдал от насмешек. Будучи умным и чувствительным ребенком с развитым воображением, он решил изобрести свой собственный язык, чтобы одноклассники не могли прочитать, что записано у него в тетрадях. Мультик «Little Twelvetoes» вдохновил его на то, чтобы сделать то же самое и с числами, — и для своего личного пользования он выбрал основание 12.

Основанию 12 соответствуют двенадцать цифр. Это цифры от 0 до 9 и еще две, обозначающие десять и одиннадцать. Стандартные обозначения для этих двух «трансдецимальных» цифр — Χ и Ƹ. Вот, значит, как выглядит счет до 12:

Новые цифры получили новые имена, дабы избегать недоразумений: Χ называется дек, а Ƹ — эл. Снабдим еще цифру 10 именем дю, что есть сокращение от «дюжины», чтобы не путать ее с цифрой 10 по основанию 10. Двенадцатеричный счет от дю и далее ведется так: дю-один — это 11, дю-два — 12, дю-три — 13 и т. д. до дю-девять, что есть 19, дю-дек — 1Χ, дю эл —1Ƹ и, наконец, два-дю — 20[3].

Майкл придумал свой личный календарь, построенный на основании 12. Каждая дата в этом календаре представляла собой число дней, посчитанных по основанию 12 начиная со дня его рождения. Он до сих пор его использует, и после нашей встречи сказал мне, что я приехал к нему на 80Ƹ9-й день его жизни[4].

Майкл принял основание 12 по причинам личной безопасности, но далеко не он один подпал под очарование этой системы. Многие серьезные мыслители аргументированно утверждали, что 12 — лучшее основание для числовой системы, потому что это число многостороннее, чем 10. На самом деле числовая система с основанием 12 — больше чем числовая система, это политико-математическое явление. Одним из самых первых ее пропагандистов был Джошуа Джордейн, который в 1687 году самостоятельно опубликовал книгу «Duodecimal Arithmetick». По его утверждению, «нет ничего более естественного и неподдельного», чем счет дюжинами. В XIX столетии к числу высокопоставленных дуодецифилов относились англичане Айзек Питман, снискавший себе немалую славу изобретением широко распространившейся системы скорописи, и выдающийся философ и социолог Викторианской эпохи Герберт Спенсер. Спенсер настаивал на необходимости реформы основания числовой системы ради «рабочих людей, людей скудного достатка и мелких лавочников, помогающих им в их нуждах». Американский изобретатель и инженер Джон В. Найстром также был фанатом двенадцатеричной системы. Он говорил об основании 12 как о «дуоденальном» — и похоже, это самое неудачное из двусмысленностей в истории науки (дуоденуме — двенадцатиперстная кишка).

Причина, по которой число 12 может считаться лучше числа 10, — это его свойства делимости. 12 делится на 2, 3, 4 и 6, тогда как 10 — только на 2 и 5. По мнению сторонников двенадцатеричной системы, в нашей повседневной жизни гораздо чаще приходится делить на 3 или 4, чем на 5. Возьмем, к примеру, хозяина магазинчика. Если у него имеется двенадцать яблок, то он может разделить их на две упаковки по шесть яблок, на три упаковки по четыре, на четыре по три или на шесть упаковок по два яблока каждая. Это гораздо практичнее, чем дележ десяти яблок, когда все имеющиеся возможности — это две упаковки по пять яблок или пять упаковок по два яблока. Само слово «grocer» — бакалейщик — на самом деле является свидетельством предпочтения, которое торговцы оказывали числу 12: оно произошло от слова «gross», означающего дюжину дюжин, то есть 144. Разнообразная делимость числа 12 также объясняет преимущество, которым обладают футы и дюймы по сравнению с метрами и сантиметрами: фут, в отличие от метра, можно легко и просто разделить на два, три и четыре — большое удобство, например для плотников и закройщиков.

Свойства делимости влияют также и на таблицу умножения. Самое простое для запоминания умножение в системе с любым основанием — это умножение на числа, на которые это основание делится. Вот почему при основании 10 таблицу умножения на 2 и 5 — где в результате могут получиться только четные числа и числа, оканчивающиеся на 5 или 0, — так легко запомнить. Подобным же образом при основании 12 простейшая часть таблицы умножения — это умножение на делители основания, то есть 2, 3, 4 и 6:

2 × 1 = 2, 3 × 1 = 3, 4 × 1 = 4, 6 × 1 = 6, 2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 4 × 2 = 8, 6 × 2 = 10, 2 × 3 = 6, 3 × 3 = 9, 4 × 3 = 10, 6 × 3 = 16, 2 × 4 = 8, 3 × 4 = 10, 4 × 4 = 14, 6 × 4 = 20, 2 × 5 = Χ, 3 × 5 = 13, 4 × 5 = 18, 6 × 5 = 26, 2 × 6 = 10, 3 × 6 = 16, 4 × 6 = 20, 6 × 6 = 30, 2 × 7 = 12, 3 × 7 = 19, 4 × 7 = 24, 6 × 7 = 36, 2 × 8 = 14, 3 × 8 = 20, 4 × 8 = 28, 6 × 8 = 40, 2 × 9 = 16, 3 × 9 = 23, 4 × 9 = 30, 6 × 9 = 46, 2 × Χ = 18, 3 × Χ = 26, 4 × Χ = 34, 6 × Χ = 50, 2 × 1Ƹ = 1Χ, 3 × Ƹ = 29, 4 × Ƹ = 38, 6 × Ƹ = 56, 2 × 10 = 20, 3 × 10 = 30, 4 × 10 = 40, 6 × 10 = 60.

Посмотрите на последние цифры в каждом столбце, и вы увидите замечательную закономерность. При умножении на 2 вы, конечно, получаете четные числа; при умножении на 3 — числа, оканчивающиеся на 3, 6, 9 и 0; при умножении на 4 — числа, оканчивающиеся на 4, 8 и 0, а при умножении на 6 — числа, оканчивающиеся на 6 или 0. Другими словами, при основании 12 мы получаем таблицу умножения на 2, 3, 4 и 6 «забесплатно». Поскольку многие дети испытывают сложности в запоминании таблицы умножения, переход к основанию 12 был бы гуманитарным актом величайшего масштаба. Так, по крайней мере, утверждают некоторые ученые.