О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний - Маркус Дю Сотой

Однако математики считают, что математика не содержит противоречий. Если бы в ней были противоречия, как бы мы смогли зайти так далеко без обрушения всего ее здания? Мы называем теорию, не содержащую противоречий, непротиворечивой. Французский математик Андре Вейль сформулировал потрясающие последствия достижений Гёделя следующим образом: «Бог существует, поскольку математика непротиворечива, а дьявол существует, поскольку мы не можем этого доказать».

Значат ли открытия Гёделя, что математика может быть опровергнута так же, как и любая другая научная теория? Возможно, мы случайно обнаружили правильную модель, но, как и в случае моделей Вселенной или элементарных частиц, мы не можем быть уверены, что в один прекрасный момент она не развалится на кусочки под весом новых данных.

Некоторые философы находили нечто привлекательное в том факте, что, хотя мы не можем доказать истинность утверждения S Гёделя в рамках аксиоматической системы теории чисел, мы по меньшей мере смогли доказать, что оно истинно, выйдя за пределы этой системы. Казалось, что из этого следует, что человеческий мозг – нечто большее, чем механизированная вычислительная машина для математического анализа мира. В 1959 г. философ Джон Лукас выступил в Оксфордском философском обществе с докладом под названием «Разум, машина и Гёдель», в котором он утверждал, что если мы построим модель разума в виде машины, следующей аксиомам и логическим правилам арифметики, то такая машина, разрабатывая доказательства, в какой-то момент наткнется на фразу «Это утверждение недоказуемо» и будет до скончания времен пытаться доказать или опровергнуть это утверждение. В то же время человек может увидеть, что оно неразрешимо, поняв его смысл. «Таким образом, машина все еще не будет адекватной моделью разума. […] разум, будучи “живым”, может всегда пойти на шаг дальше любой формализованной, окостеневшей, мертвой системы»[118].

Это рассуждение выглядело очень привлекательно. Кто не хотел бы верить, что мы, люди, – нечто большее, чем простые вычислительные системы, чем приложения, установленные в неких биологических устройствах? Роджер Пенроуз использовал рассуждение Лукаса в своем недавнем исследовании сознания в качестве основы для своего убеждения в том, что для понимания того, что делает разум сознательным, нам необходима новая физика. Но, хотя мы действительно подтверждаем истинность утверждения «Это утверждение недоказуемо» путем выхода за пределы системы, это также требует большого допущения, а именно, что система, в рамках которой мы пытаемся доказать истинность этого утверждения Гёделя, сама не содержит противоречий. А суть второй теоремы Гёделя о неполноте состоит в том, что мы не можем этого доказать.

Утверждения, подобные созданным Гёделем, истинные, но недоказуемые, могут показаться с математической точки зрения несколько эзотерическими. Не может же быть так, чтобы действительно интересные утверждения о свойствах чисел – гипотеза Римана, гипотеза Гольдбаха, гипотеза PORC – были недоказуемы? Надежда на то, что доказательству не подлежат лишь хитроумные утверждения Гёделя, оказалась ложной. В 1977 г. математики Джефф Пэрис и Лео Харрингтон предъявили вполне настоящее математическое утверждение о свойствах чисел и сумели показать, что оно истинно, но недоказуемо в рамках классической аксиоматики теории чисел. Но в следующей части этой главы мы увидим, что, пытаясь справиться с идеей бесконечности, математики открыли не только недоказуемость некоторых утверждений, но и невозможность определить, истинны они или ложны.

Если вы прочитали «Рубеж третий» и эту главу, вы должны быть готовы к восприятию еще одного анекдота из моих парадоксальных рождественских хлопушек. Единственное, что вам еще нужно знать, – это что американский лингвист и философ Ноам Хомский проводит различие между языковой способностью (лингвистическими знаниями, которыми обладает культура) и языковым поведением (тем, как язык используется в общении). Так вот, анекдот:

Как мы выяснили на четвертом «рубеже», в физической Вселенной, в которой мы живем, есть пределы, дальше которых мы не можем видеть, за которыми мы ничего не можем исследовать. Однако я посвятил всю свою жизнь исследованию не физической Вселенной, а доступной лишь разуму вселенной математических истин. В ней мне не нужны ни телескопы, ни микроскопы, ни космические корабли. У меня есть другие инструменты, достигающие пределов мира. Прежде всего это вопрос о том, способны ли конечные средства, заключенные в моей голове, познать бесконечность. Математика позволяет нам заглянуть далеко за барьеры, останавливающие наши исследования краев физической Вселенной. Не существует никакого самого большого числа. На любую попытку воздвигнуть предел во вселенной чисел я всегда могу ответить прибавлением еще одной единицы. И это простое действие прибавления единицы позволяет мне создавать в моем разуме бесконечные миры.

Но как много я могу знать о таких бесконечных мирах? Есть ли пределы, ограничивающие возможности исследования истин этой бесконечной вселенной чисел при помощи конечных нейронных средств? До XIX в. слово «бесконечный» было равнозначно слову «непознаваемый». И тем не менее человек исследовал бесконечное при помощи своего конечного разума с тех самых пор, когда древние греки изобрели черную магию математики.

Вот еще один из математических анекдотов, которые вылетели из наших рождественских хлопушек:

Учитель. Назовите самое большое число.

Ученик. Семьдесят три миллиона двенадцать.

Учитель. А как же семьдесят три миллиона тринадцать?

Ученик. Ну вот, я был почти прав!

Древние греки понимали, что числа никогда не кончаются, но это понимание еще не означало знания о существовании подлинной бесконечности. Аристотель проводил различие между бесконечностью потенциальной и бесконечностью актуальной. Потенциально существует возможность прибавления единицы к каждому следующему числу, но реальное достижение численной бесконечности невозможно. Тем не менее удивительно, как грекам удавалось исследовать такую потенциальную бесконечность посредством конечных логических рассуждений.