Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Шорткатов к освоению навыков тонкой моторики, необходимых для высококлассного музыканта, не существует, но, возможно, есть шорткаты для разучивания новых пьес. Клейн посоветовала мне работы музыковеда Генриха Шенкера. На самом деле я уже встречался с трудами Шенкера раньше, хотя и в другом контексте. Специалисты по информатике использовали его идеи в попытках запрограммировать искусственный интеллект (ИИ) на сочинение правдоподобных музыкальных произведений. Цель анализа по Шенкеру состоит в выявлении фундаментальной структуры, лежащей в основе музыки, так называемого урзаца, чем-то похожего на паттерны, лежащие в основе числовых последовательностей. Системы ИИ, генерирующие музыку, пытаются обратить этот процесс – начать с урзаца и нарастить на нем музыкальную «плоть». Но Клейн считает, что такой анализ дает ей более рациональный способ освоения музыкальных пьес, которые она разучивает.

«Он упрощает, упрощает и упрощает, пока не получит самую простую формулу, позволяющую понять произведение, – говорит она. – Это можно назвать шорткатом к пониманию структуры музыкальной пьесы. Речь идет о макро-, а не о микропредставлении».

Оказывается, паттерны входят в набор инструментов музыканта, когда он разбирается в сложностях музыкального произведения. Я спросил, не может ли это быть полезным шорткатом к заучиванию музыкальных сочинений? Выявление основополагающей структуры последовательности чисел дает мне шорткат, избавляющий от необходимости заучивать информацию механическим повторением. Сама Клейн запоминает концерты, снова и снова репетируя их исполнение, пока очередная пьеса не закрепляется в ее двигательной памяти. Но для других музыкантов паттерны могут играть важную роль. Клейн сказала мне: «У меня есть друг, Вадим Холоденко. Он своего рода гений. Я видела, как он днем прочитывает пьесу, которую до этого слышал раз или два, а тем же вечером исполняет ее на концерте, и делает это лучше, чем большинство других музыкантов, которые работали над ней три месяца. Он видит крупные формы и абсолютно уверен, что у него все получится, и тогда оставшиеся пробелы заполняются. Он, несомненно, видит макрокартину и верит в макро больше, чем в микро, это уж точно».

Мой преподаватель виолончели научил меня еще одному интересному шорткату для разучивания новых произведений. Часто бывает так, что один и тот же пассаж можно сыграть на виолончели несколькими способами, потому что одну и ту же ноту можно сыграть на разных струнах. Первый и самый очевидный способ сыграть какую-нибудь ноту часто оказывается нерациональным, и в результате рука играющего прыгает по всему инструменту. Но, если мыслить более стратегически, можно найти альтернативные способы исполнения пассажей, при которых вам не нужно все время передвигать руку то вверх, то вниз. Разработка способа исполнения произведения может быть своего рода головоломкой: как лучше всего расположить пальцы на струнах, чтобы сыграть пьесу с наименьшими затратами сил?

Клейн тоже так считает: «Иногда я играю очень изобретательно. Мне кажется, меня никто этому не учил, но мне самой показалось, что было бы очень полезно научиться побольше работать большим пальцем. Это мне очень помогло. Есть еще несколько виолончелистов, которые делают так же, начиная с великого виолончелиста Даниила Шафрана. Я думала, что это мое изобретение, но на самом деле это не так. Все сводится к решению задач. Чем острее задача, тем более творческим может быть ее решение».

Однако, несмотря на все эти полезные способы работать с музыкой, в сущности, по мнению Клейн, в том, чем она занимается, не бывает шорткатов: «Для того, кто хочет стать профессиональным виолончелистом, особенно заниматься сольными выступлениями, получить известность, ощущать, что твою работу внимательно изучают, – ничего такого нет. Никаких шорткатов. И именно это мне и нравится. Как известно, Пабло Казальс упражнялся всю жизнь, и когда ему было девяносто пять, его спросили: “Маэстро, почему вы все еще продолжаете упражняться?” – и он ответил: “Потому что мне кажется, что у меня наконец начинает что-то получаться. Я совершенствуюсь”. По-моему, именно это побуждает продолжать работать. Нужно много тяжелого труда, и легче не становится. Чтобы работать всю жизнь, нужно увлекаться своим делом. Невозможно достичь самой высокой вершины».

Именно поэтому многих специалистов не слишком беспокоят шорткаты. Клейн сказала мне: «Идея шортката кажется привлекательной в краткосрочной перспективе, но не в долгосрочной. Я думаю, если бы было много шорткатов, задачи не казались бы нам такими же интересными».

Я признаю, что между стремлением достичь цели и легкостью, с которой это можно сделать, есть некое противоречие. Если задача оказывается слишком легкой, ее решение не приносит удовлетворения. И все же я не хочу заниматься бездумной, монотонной работой. Самое большое удовольствие я получаю именно от тех шорткатов, которые открываются после того, как я некоторое время топчусь на месте, не зная, удастся ли мне вообще добраться до цели. Выбросы адреналина в те моменты, когда становится виден хитроумный путь к решению, – это моя страсть, которая разгоралась по мере совершенствования моего математического мастерства. Но в том, что касается виолончели, я понимаю: хотя некоторые паттерны могут быть полезны, никаких шорткатов, избавляющих от тяжелой работы, тут не существует.

Вы – бакалейщик и хотите взвешивать товары от 1 до 40 килограммов на простейших равноплечных весах. Каково минимальное число гирь, необходимых для этого, и какого они должны быть номинала?

Удобный шорткат для выражения какой-нибудь идеи бывает мощным средством ускорения мысли. Тот способ, которым я могу выразить концепцию миллиона при помощи всего лишь семи символов – 1000000, – кажется мне само собой разумеющимся. Но в этих семи символах скрыта целая история поразительно интересных шорткатов, помогающих рационально разбираться в числах и вычислять. В течение всей истории человечества – и даже сейчас, если речь идет о коммерции, строительстве или банковском деле, – те, кому удавалось вычислить ответ быстрее и рациональнее, чем конкурентам, получали преимущество. В этой главе я хочу рассказать о некоторых хитроумных способах, которые мы изобрели для работы с числами и вычислений. Интересно отметить, что эти шорткаты могут быть действенными стратегиями даже там, где речь идет вовсе не о числах.

Многие думают, что раз я работаю в области фундаментальной математики, я, наверное, занимаюсь делением в столбик, вычисляя множество знаков после запятой. Неужели мое рабочее место еще не занял электронный калькулятор? Такое ошибочное представление, что математики – это такие сверхвычислители, встречается часто. Но это вовсе не значит, что в моей работе нет вычислений. Многие изощренные математические темы начинались с задач, требовавших изобретения хитроумных арифметических методов, – как это было с шорткатом, который нашел в школе Карл Фридрих Гаусс. Существует богатая история шорткатов, которые открыли люди, пытавшиеся считать более рационально. Даже калькуляторы, которыми мы пользуемся сегодня, были запрограммированы с учетом некоторых из наиболее удачных шорткатов, придуманных на протяжении многих лет математиками.