Силы притяжения, действующие на тело внутри диска - Петр Путенихин

Мы задаём некий закон, функцию плотности, по которой вычисляем кривую вращения, строим её график. Если этот график визуально, субъективно не совпадает с эталонным, корректируем функцию плотности и повторяем вычисления до тех пор, пока не будет достигнуто минимальное, приемлемое различие графиков.

2. Построение пробных диаграмм

Итак, мы вывели достаточно простое интегральное уравнение для построения сил, действующих на тело, помещённое внутрь пылевого диска с переменной плотностью. В процессе его исследования, построения кривых вращения для разных функций плотности были получены интересные, и даже, можно сказать, удивительные результаты.

Первая же графическая проверка сформированного интеграла сил показала довольно любопытный результат, которому можно привести достаточно логичное объяснение. Рассмотрим диаграмму сил притяжения тела, находящегося на разных удалениях от центра внутри однородного диска, диска с неизменной плотностью. Вычисления сделаны численным интегрирование уравнения (1.6) в "сдвоенном" режиме. В процессе интегрирования на диаграмму выводились два значения, по одному для каждого из двух графиков. Одно в момент равенства x = Rx, когда определено частичное значение интеграла, в котором переменная интегрирования x равна Rx, радиальной координате точки расположения тела m. Это значение интеграла, понятно, соответствует величине силы только от внутренних обручей. Второе значения интеграла — конечное, соответствует силе притяжения от всех обручей.

Рис. 2.1. Силы притяжения Fxo — только от внутренних обручей; Fx — от всех обручей; a) — равные масштабы; б) — график Fx в увеличенном масштабе

На верхнем рисунке, рис. 2.1a в равных масштабах приведены графики: Fx — график полной силы, с учётом внешних слоёв диска, Fxo — без учёта этих слоёв. Напомним, что для объекта m внешние слои диска — это условные обручи с радиусом, превышающим удалённость объекта от центра диска. Графики на рис. 2.1a полностью вписаны в диаграмму. На нижнем рисунке рис. 2.1б график Fx приведён в увеличенном масштабе. Как видим, на начальном участке график Fx уходит в минус. Это означает, что тело притягивается не к центру диска, а наружу, к его периферии, внутри обруча тело испытывает силу притяжения к его ближней части. Скачок графика Fx в самом начале координат может быть связан, например, с достаточно грубой дискретностью на начальном этапе. Действительно, окружность Rx радиусом в одну дискрету программой рассматривается не как окружность, а как прямоугольник со сторонами dx на πdx. Другой вариант объяснения пика — на начальном этапе, на малых дистанциях влияние внутренних сил диска выше, чем внешних. Проверить, что из этого верно, можно лишь увеличив точность вычислений в области центра диска.

На верхнем рисунке рис. 2.1a видно, что оба графика сошлись в одной точке. Это также объяснимо: на краю диска у притягиваемого тела нет вещества "за спиной", поэтому обе равные силы притяжения направлены в центр диска. Величина этой силы, очевидно, не должна зависеть от способа её вычисления.

График Fxo практически прямолинейный, то есть, сила притяжения к центру однородного диска тела, находящегося на его краю, прямо пропорциональна радиусу диска.

Рис. 2.2. Силы притяжения диска с гиперболической функцией плотности: Fxo — только от внутренних обручей; Fx — от всех обручей

Что интересно и даже удивительно, при учёте "внешних слоёв", обручей такого диска график силы Fx довольно долго растёт почти по закону параболы, а вблизи края диска — скорость роста резко возрастает. Это означает, что сила притяжения внешних частей диска наружу буквально "подавляет" силу притяжения внутренних дисков. Для сравнения построим график сил для диска с гиперболической функцией плотности, плотности, которая убывает от центра диска к его периферии — рис. 2.2.

Для такого частного, специфического распределения плотности диска кривая вращения приобрела вид, явно отличающийся от кеплеровского, рис. 2.3.

Рис. 2.3. Диск с гиперболической функцией плотности имеет кривую вращения, приближающуюся к наблюдаемой кривой вращения галактики Млечный Путь

Начальный участок графика плотности на рис. 2.2 и рис. 2.3 уходит по гиперболе далеко вверх. Его уравнение

Разумнее было предположить, что плотность ρ0 неизменна не только в точке, а на некотором интервале начального участка, в центральной части диска. После корректировки, установки плотности ρ0 на таком участке график приобрёл такой вид рис. 2.4.

Неизменное значение плотности было до r = 0,59 включительно. Внешнее, приблизительное сходство графика с кривой вращения Млечного Пути, несомненно. А если изменить плотность на другом интервале радиусов? Попытки точечного изменения плотности показали, что прямой, пропорциональной связи между графиком плотности и кривой вращения нет. Каждый изгиб графика плотности, изгиб в любой его точке приводит к изменению кривой вращения также и в других её точках.

Рис. 2.4. Диск с гиперболической функцией плотности и отсечённым верхом, максимумом имеет кривую вращения, довольно сильно приближенную к наблюдаемой кривой вращения галактики Млечный Путь

Рис. 2.5. Небольшой выступ на графике плотности ведёт к сильному искажению, всплеску на кривой вращения

Небольшая площадка в области r = 4,5 привела к довольно серьёзной деформации кривой вращения. Пробуем скачкообразно изменить плавность изменения плотности в конце графика, после r = 8.

Плотность была сформирована фактически из двух интервалов (скачок на 8). До 8 показатель степени в уравнении (2.1) n = 0,5, после 8 показатель n = 0,3. Пик на кривой вращения оказался весьма крутым. На графике силы Fx этот скачок существенно меньше, что объяснимо его квадратичной зависимостью. Заметим, что график плотности в конце диска имеет ненулевое значение.

Рис. 2.6. Ступенька на графике плотности ведёт к сильному искажению, пику на кривой вращения

Считая, это не совсем верно, вносим небольшую корректировку в уравнение плотности, сделав её значение на краю диска равной нулю

Формируем новый интервал n = 0,45 после r = 8 и строим диаграммы. Скачок привел к немного уменьшенному эффекту, но по-прежнему с заметным пиком на кривой вращения.

Рис. 2.7. Пик на кривой вращения возникает при любой, даже самой малой ступеньке на графике плотности

Эффекты явно вызваны скачком плотности. Пробуем заменить скачок в r = 8 плавным переходом и для сравнения добавляем скачки на r = 5 и на r = 9,2.

Рис. 2.8. Плавный изгиб, переход на графике плотности ведёт к такому же плавному изгибу на кривой вращения

Просматривается закономерность: скачки плотности всегда приводят к появлению пиков на кривой вращения.