Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

В ходе своих новаторских исследований хаоса Лоренц также обнаружил новый вид фрактала, так называемый странный аттрактор. Обычный аттрактор прост в том смысле, что точки стремятся к нему, а затем совершают определенные постоянные циклы в его окрестностях. Странные же аттракторы, как мы увидим, ведут себя иначе. Для того чтобы получить первый пример странного аттрактора, Лоренц использовал систему дифференциальных уравнений. При увеличении масштаба в любой его точке появлялось бесконечное множество параллельных линий. Любая точка на аттракторе передвигалась по хаотической траектории рядом с ним, никогда не возвращаясь точно в исходное положение, а две точки, находившиеся изначально очень близко друг к другу, быстро расходились и в итоге оказывались на совершенно разных траекториях. Чтобы провести аналогию с физическим миром, представьте себе шарик для настольного тенниса и океан. Если шарик сбросить с высоты над океаном, он будет быстро падать, пока не коснется воды. Если его погрузить под воду и отпустить там, он быстро всплывет. Но как только он оказывается на поверхности океана, его движение становится совершенно непредсказуемым и хаотичным. Точно так же точка, не находящаяся на странном аттракторе, будет стремительно двигаться по направлению к нему. Достигнув же странного аттрактора, она начинает двигаться вблизи него хаотично.

Изучение фракталов – увлекательнейшее занятие, а по красоте мало какой математический объект способен составить им конкуренцию. Но кроме того, они играют важнейшую роль в физическом мире. В основе любого природного явления, которое кажется нам случайным и неупорядоченным, может лежать фрактал. Более того, можно даже утверждать, что все объекты и явления, существующие в этом мире, – фракталы, поскольку все они на любом уровне имеют ту или иную структуру, по крайней мере до уровня атомов. Облака, вены на руке, разветвления бронхов, листья деревьев – все они имеют структуру фрактала. В космологии по фрактальному принципу распределяется материя по Вселенной, и фрактал этот имеет структуру даже на уровнях меньше атомного ядра, вплоть до предельного значения расстояния, которому присвоен физический смысл, – так называемой планковской длины, равной 1,6 × 10–35 метра, или приблизительно одной стоквинтиллионной размера протона.

Странный аттрактор, известный как “циклически симметричный аттрактор Томаса”.

Фракталы существуют не только как пространственные узоры, но и как временны́е. Возьмите игру на ударных: можно легко запрограммировать компьютер на создание и воспроизведение барабанной партии или посадить за ударную установку музыканта-робота. Но в игре профессиональных барабанщиков есть нечто, что отличает ее от идеально размеренного, безукоризненно точного ритма, производимого их электронными коллегами. И это “нечто” – незначительные изменения ритма и громкости, едва заметные отклонения от совершенства, которые, как показывают исследования, имеют фрактальный характер.

Международная группа ученых проанализировала работу на ударных Джеффа Поркаро, участника группы Toto, прославившегося своей виртуозной игрой на хай-хэте (сдвоенных тарелках), на котором он играл одной рукой. Как в ритме, так и в громкости ударов по хай-хэту исследователи обнаружили самоподобные фигуры, общая структура которых перекликалась с рисунком более коротких пассажей. Игра Поркаро на ударных – это акустический эквивалент фрактальной береговой линии, проявляющий самоподобие при различных масштабах. Кроме того, ученые установили, что слушателям больше нравятся именно такого рода вариации, а не идеально выстроенный ритмический рисунок или, наоборот, более случайный.

Фрактальные фигуры у каждого барабанщика свои, и это одна из особенностей, которая делает их игру уникальной и узнаваемой. Похожее наблюдается и у музыкантов, играющих на других инструментах. Эти мельчайшие отклонения от идеала – то, что отличает человека от машины.

Поскольку вокруг нас так много фракталов (пусть и не в строгом математическом смысле этого термина), компьютер способен быстро создать изображение, очень похожее на реальный объект, например, нарисовать дерево. Дайте ему лишь формулу и начальные данные – и через мгновение он выдаст вам фантастически реалистичную картинку. Неудивительно, что эта техника быстрого создания моделей планет, облаков, движущейся воды, ландшафтов, скал, растений и других объектов пейзажа так полюбилась специалистам по анимации и по компьютерной графике в кино, разработчикам авиасимуляторов и компьютерных игр. Нет нужды держать огромную базу данных со всеми объектами и локациями, необходимыми для съемки реалистичной сцены, – ведь компьютер запросто просчитает и построит все с лету, всего лишь повторяя на высокой скорости несколько несложных операций. Этот перспективный подход может сыграть важную роль в разработке будущих технологий погружения, в частности виртуальной реальности, где целью является создание действующих в реальном времени трехмерных изображений, неотличимых от окружающих нас объектов и явлений.

У компьютеров, пожалуй, больше общего с инженерным делом, чем с математикой, и когда речь идет об аппаратной части и программировании, с этим не поспоришь. Но теория алгоритмов – теоретическая информатика – наука самая что ни на есть математическая. Наш путь через лабиринты странной математики компьютеров к дальним пределам возможностей вычисления начинается почти столетие назад, задолго до того, как зажегся огонек первого электронного мозга.

В 1928 году немецкий математик Давид Гильберт, известный своим обыкновением ставить перед коллегами вопросы, на которые не было готового ответа[19], сформулировал задачу, названную им Entscheidungsproblem, или “проблемой разрешимости”. В задаче спрашивалось: всегда ли можно найти поэтапную процедуру, позволяющую за конечный промежуток времени определить, является математическое утверждение истинным или ложным? Гильберт надеялся на положительный ответ, но не прошло и десяти лет, как эта надежда рухнула.

Первый удар нанесла статья, опубликованная в 1931 году логиком австрийского происхождения Куртом Гёделем (о его работе мы еще поговорим подробнее в последней главе), изучавшим аксиоматические системы – наборы аксиом, или правил, принимаемых за самоочевидную истину, из которых выводятся теоремы. Гёдель показал, что в любой логически непротиворечивой системе аксиом, которая достаточно велика, чтобы включать в себя все правила арифметики, существуют истинные утверждения, чью истинность невозможно доказать средствами самой этой системы. Вывод, получивший название теорем Гёделя о неполноте, означал, что всегда будут существовать математические истины, которые невозможно доказать. Открытие стало потрясением для многих ученых, но оно еще не ставило крест на вопросе разрешимости математических утверждений, или, другими словами, на возможности найти алгоритм (последовательность шагов), способный гарантированно определить, является ли утверждение доказуемым, а если является – истинно оно или ложно. Крест на этом вопросе будет поставлен несколько позже, во многом благодаря молодому англичанину Алану Тьюрингу, который помог вынести окончательный вердикт по Entscheidungsproblem.