Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства - Леонард Млодинов

Наконец Декарт забросил науку букв и переехал в Париж. Там он ночами вел светскую жизнь, а днем лежал в постели и изучал математику (приступая к занятиям, разумеется, после полудня). Математику он полюбил, и она даже время от времени приносила ему доход — Декарт применял ее за игровым столом. Однако довольно скоро Париж Декарту приелся.

Что делали молодые люди с некоторыми средствами во времена Декарта, если желали странствовать и искать приключений? Шли в армию. В случае Декарта — в армию принца Морица Оранского (Нассауского). То была настоящая добровольческая армия — Декарту за его службу не платили. В итоге все остались при своих: Декарт не только ни в каких военных действиях не поучаствовал — через год он присоединился к вооруженным силам противника, герцога Баварии. Странное дело: сначала вербуемся к одним и не воюем, потом к другим — и опять не воюем. Но в тот период в войне Франции и Голландии против Испано-австрийской монархии возникло затишье, а Декарт пошел в армию ради путешествий, а не из политических соображений.

Служить Декарту понравилось: он встречался с людьми из разных краев, и в то же время ему хватало уединения, чтобы посвящать его изучению математики и наук, а также размышлениям о природе Вселенной. Его странствия почти немедленно принесли плоды.

Однажды в 1618 году солдат Декарт оказался в маленьком голландском городке Бреда, где увидел толпу, собравшуюся вокруг уличного объявления. Он подошел ближе и попросил пожилого зеваку перевести ему написанное на французский. Ныне в таком объявлении можно прочесть что угодно — рекламное воззвание, запрет парковки, призыв помочь с поисками человека. Но есть такое, чего теперь в уличных объявлениях не встретишь, а именно: математическую задачку, адресованную широкой публике.

Декарт осмыслил поставленную задачу и отметил походя, что она довольно проста. Его переводчик — может, озлившись на него, а может, забавы ради — взял незнакомца на слабо и принялся подначивать: дескать, давай, реши-ка. И Декарт решил. Пожилой собеседник ученого, человек по имени Исаак Бекман, сильно изумился, что само по себе целое дело: Бекман был выдающимся голландским математиком своего времени.

Бекман и Декарт так подружились, что Декарт впоследствии писал[114] о Бекмане как о «вдохновителе и духовном отце» его учений. Именно Бекману Декарт четыре месяца спустя описал свои революционные взгляды на геометрию. Письма Декарта другу в следующие пару лет обильно приправлены отсылками к новым представлениям об отношениях между числами и пространством.

Всю свою жизнь Декарт относился к работам греков весьма критически, однако геометрия раздражала его пуще прочего. Она казалась ему неуклюжей и усложненной без всякой необходимости. Ему, казалось, противны были сами формулировки греческой геометрии, вынуждавшие его трудиться прилежнее потребного. Анализируя задачу, поставленную греком Паппом Александрийским, Декарт писал, что «мне утомительно уже то, сколько всего об этом надо писать»[115]. Он критиковал их систему доказательств, потому что каждое новое оказывалось уникальным в своем роде, и одолеть его можно было «лишь при условии великого изнурения воображения»[116]. Не одобрял он и того, как греки определяли кривые — описательно, что само по себе, конечно, бывало скучным, а доказательства делало путаными. Ныне ученые пишут, что «декартова математическая лень — притча во языцех»[117], но самому Декарту вовсе не совестно было искать некую связующую систему, что упростила бы доказательства геометрических теорем. Таким способом он мог спать дольше и все равно больше сделать для науки, чем критиковавшие его более прилежные ученые.

Сравним для примера определение круга Евклидом (часть I «Начал») и Декартом — и убедимся в успехах последнего:

Даже тем, кто не в курсе, что такое «уравнение», определение Декарта должно показаться проще. И вся штука не в том, чтобы определить, что такое уравнение, а в том, что в декартовом методе круг определяется им. Декарт перевел язык пространства на язык чисел и, что еще важнее, применил этот перевод к перефразированию геометрии в алгебру.

Декарт начал свой анализ с превращения плоскости в подобие графика, изобразив горизонтальную прямую и назвав ее осью х, а вертикальную — осью у. За исключением одной существенной детали, любая точка на этой плоскости описывалась теперь двумя числами: вертикальным расстоянием до горизонтальной оси, обозначенным у, и горизонтальным расстоянием до вертикальной оси, обозначенным х. Точки на плоскости с тех пор записываются в виде «упорядоченных пар» (х; у).

Но вернемся к существенной детали: если буквально отмерить расстояния, как описано выше, для каждой пары координат (х; у) найдется более одной точки. Например, рассмотрим две точки, каждая из которых на единичный отрезок выше оси х, но располагаются они по обе стороны от оси у: допустим, одна лежит на два единичных отрезка правее, а другая — на два единичных отрезка левее. Поскольку обе точки расположены на один единичный отрезок выше оси х и обе — в двух единичных отрезках от оси у, в соответствии с нашим рассуждением обе можно описать парой координат (2, 1).

Такая же неоднозначность возникает в почтовых адресах. Могут ли два человека, проживающие по адресу 80-я улица, 137, задрать нос и заявить: «Да я б никогда в том районе жить не стал». Отчего бы и нет? «Вестсайдская история» и «Истсайдская история» — однозначно две разные истории[121]. Математики избавляются от этой неоднозначности в координатах в точности так же, как градостроители — в почтовых адресах, с той лишь разницей, что первые используют знаки «плюс» и «минус», а вторые приписывают к адресу «восточный»/«западный» или «северный»/«южный». Математики подрисовывают знак «минус» к координате х всех точек, размещающихся левее оси у (т. е. «восточной стороне» — «истсайду»), и к координате у всех точек, расположенных ниже оси х (т. е. «южной стороне», или «саутсайду»). В нашем случае у первой точки координаты останутся без изменений — (2, 1), а у второй станут такие: (-2, 1). Мы делим плоскость на четыре четверти (квадранта) — северо-восточная, северозападная, юго-восточная и юго-западная. У всех точек в «южном» квадранте значение координаты у отрицательное, а у всех точек в «западном» отрицательно значение координаты х. Эту систему обозначения принято называть декартовыми координатами. (На самом деле примерно тогда же аналогичное открытие сделал Пьер Ферма, однако если за Декартом водилась дурная привычка ни на кого не ссылаться в своих публикациях, Ферма имел худшую склонность — не публиковать свои работы вообще.)