Золотой билет. P, NP и границы возможного - Лэнс Фортноу

Основатель теории информации – американский ученый Клод Шеннон – доказал, что некоторые логические функции имеют чрезвычайно высокую схемную сложность. Яблонский решил исследовать сложность построения таких функций. Хоть это и не очевидно, но если P и NP окажутся не равны, отсюда будет следовать, что некоторые легко формулируемые поисковые задачи нельзя решить при помощи маленьких схем.

Из результатов Шеннона вытекало, что сложность логических функций, заданных случайным образом, почти всегда близка к максимальной. Яблонский первым обратил внимание на этот факт и начал заниматься вопросом поиска сложных логических функций без использования случайных величин. Возникала ли при этом необходимость полного перебора всех функций? Ученый показал, что во время построения последовательности функций, имеющих сложную схемную реализацию, обязательно будут строиться и все остальные функции. Отсюда, в частности, следовало, что всякий метод построения некоторой сложной функции можно преобразовать таким образом, чтобы он строил любую другую функцию. Из того факта, что при построении сложных функций строятся также и все остальные, Яблонский сделал вывод о необходимости перебора. В 1959 году вышла его работа «О невозможности элиминации перебора всех функций из P2 при решении некоторых задач теории схем».

Важность результатов Яблонского сложно переоценить; и все же интерпретировал он их не совсем верно. Ведь если при построении сложной функции можно получить и любую другую, то это еще не означает, что строить все остальные функции необходимо и другим способом сложную функцию никак не найти. На самом деле в работе Яблонского мало что говорилось о вычислительной сложности поиска самых сложных функций. Годом позже ученик Яблонского Юрий Иванович Журавлёв опубликовал статью с не менее впечатляющим названием – «О невозможности построения минимальных дизъюнктивных нормальных форм функций алгебры логики в одном классе алгоритмов», в которой тема вычислительной сложности также не затрагивалась. По сути ни та ни другая работа не касалась вопросов, связанных с проблемой равенства P и NP.

Советский Союз был социалистической страной с централизованной системой управления экономикой. В науке применялся аналогичный подход, и математические исследования находились под контролем различных комиссий, в которых Яблонский играл далеко не последнюю роль. Ученый полагал, что проблема перебора уже достаточно изучена в его собственной работе, и потому не приветствовал дальнейшие исследования в этом направлении, особенно если дело касалось вычислительной сложности и поиска алгоритмов. Далее мы увидим, что в результате такого подхода в шестидесятые годы в математическом сообществе случился раскол.

Андрей Колмогоров родился в 1903 году в Тамбове. В 1920 году он поступил в Московский университет, где поначалу интересовался не только математикой, но и пробовал свои силы и в истории, занимаясь изучением налогообложения на Руси в Средние века. Вопрос в его работе ставился такой: назначался ли налог сразу целому селению или же складывался из налогов, назначенных отдельных дворам? Проанализировав старинные налоговые записи, Колмогоров показал: расшифровать эти записи и объяснить правило, по которому они составлялись, будет гораздо проще в предположении, что налог назначался селению. На историческом отделении работу студента оценили очень высоко. Однако в ответ на вопрос, следует ли ему опубликовать полученные результаты, Колмогоров услышал: «У вашей гипотезы есть лишь одно обоснование. А для публикации требуется как минимум два», что в конечном итоге заставило его отвернуться от истории и посвятить себя науке, в которой одного доказательства было вполне достаточно. Колмогоров внес неоценимый вклад в самые разные области математики; это величайший математик XX века и один из крупнейших ученых в истории всей российской и мировой науки.

Существует забавная история – анекдот, по всей видимости, – о том, как Колмогоров спас теорию вероятностей от сталинского режима.

В тридцатых годах Сталин стремился укрепить свою власть. Все достижения науки и искусства, представлявшие потенциальную угрозу режиму, безжалостно уничтожались. Биологией заправляла группа псевдоученых, «приближенных к императору». В 1937 году очень многие генетики были арестованы как троцкисты и агенты фашистской разведки. В последующие десятилетия советская генетика – некогда предмет настоящей гордости – почти полностью прекратила свое существование.

Разобравшись с генетикой, «светочи науки» ополчились на теорию вероятностей за понятие независимых событий. Теория вероятностей занимается изучением шансов на тот или иной исход; к примеру, если одновременно бросить две игральные кости, то вероятность того, что в сумме выпадет пять очков, равняется одной девятой. Через понятие вероятности определяются и независимые события. Например, при подкидывании двух игральных костей число выпавших очков на одной никак не зависит от числа выпавших очков на другой. Все это плохо согласовывалось с марксистской философией, согласно которой все кругом взаимосвязано и взаимообусловлено.

Колмогорова вызвали наверх и упрекнули в том, что независимые события идут вразрез с идеями марксизма.

Ученый понимал, насколько важно подобрать верные слова: от того, что он скажет, зависит будущее советской математики. «Вы ошибаетесь», – начал он, и его собеседники тут же решили: «Попался!» Ведь критиковать линию партии – все равно что подрывать основы марксистского учения, и для Колмогорова это означало конец карьеры.

«Допустим, поп во время засухи молится о ниспослании дождя, – продолжал ученый. – На следующий день начинается дождь. Эти два события совершенно независимы». Что тут можно было возразить? Допустить даже самую отдаленную связь значило признать действенность религии, что было равносильно попытке дискредитировать учение Маркса. Так Колмогоров спас теорию вероятностей.

Рис. 5.3. Комикс про Дилберта. © Скотт Адамс, 2001. Публикуется с разрешения UNIVERSAL UCLICK. Все права защищены

Стремление проникнуть в суть вероятности и случайности привело Колмогорова к одной удивительно простой и в то же время гениальной идее. Рассмотрим три последовательности цифр:

• 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999;

707 106 781 186 547 524 400 844 362 104 849 039 284 835 937 688 474;

982 922 216 207 267 591 232 795 977 564 268 549 473 337 889 037 097.

Одну из них мне выдал генератор случайных чисел, а остальные были получены другими способами. Все три последовательности абсолютно равновероятны: нет никаких причин, по которым одна была бы «менее случайна», чем другая. Прежде чем читать дальше, попробуйте догадаться, какая из них – творение генератора.

Выдавать одни девятки для генератора случайных чисел не очень-то естественно. Вторая последовательность, – как некоторые уже, наверно, догадались, – это начало дробной части квадратного корня из 1/2. А вот третья действительно была создана генератором.