Ритм вселенной. Как из хаоса возникает порядок - Стивен Строгац

Даже по окончании стажировки у Нэнси Копелл я продолжал размышлять над этой моделью на протяжении нескольких последующих лет. Аспект, который интересовал меня больше всего, касался возникновения порядка из хаоса случайности. Каким образом системе, состоящей из миллионов частиц, удается спонтанно организовать себя? В этом вопросе заключалось нечто мистическое. В нем звучали даже религиозные нотки, напоминающие мне библейскую историю рождения земной тверди из чего-то совершенно бесформенного и аморфного или, как называли это состояние древние греки, из хаоса.

Возможно, мы никогда не поймем причины возникновения порядка в реальной Вселенной, но в воображаемой вселенной модели Курамото эта задача упрощается до такой степени, что мы можем найти для нее математическое решение. Здесь возникает вопрос генезиса: каким образом некогерентность порождает синхронизм? Однажды мне пришло в голову, что существует достаточно простой способ сформулировать этот вопрос в виде упражнения на решение дифференциальных уравнений: нужно лишь рассматривать некогерентность как состояние равновесия, а затем вычислить его устойчивость.

Чтобы прояснить математический смысл таких знакомых большинству из нас понятий, как равновесие и устойчивость, рассмотрим ряд примеров из окружающего нас мира. Допустим, мы поставили стакан с водой на кухонный стол. Секунду-другую вода будет «устаканиваться», а затем придет в состояние покоя. Теперь поверхность воды в стакане выглядит плоской и горизонтальной. Это и есть состояние равновесия – в том смысле, что в таком состоянии вода может пребывать сколь угодно долго. Такое равновесие можно также назвать устойчивым состоянием, поскольку, если немного встряхнуть стакан, а затем оставить его в покое, то поверхность воды в нем быстро вернется к исходному состоянию. Таким образом, равновесие означает, что ничего не меняется; устойчивость означает, что слабые возмущения быстро сходят на нет. Теперь рассмоторим другой пример. Возьмите карандаш и заточите его, затем поставьте этот карандаш вертикально на заточенный кончик грифеля и попытайтесь тщательно сбалансировать его. Отпустите карандаш. Если вам удалось идеально сбалансировать его, он продолжит стоять вертикально; таким образом, по определению, это состояние также является состоянием равновесия. Но совершенно очевидно, что такое состояние не является устойчивым: даже легчайшее дуновение ветерка опрокинет карандаш, после чего он уже не вернется самостоятельно в вертикальное положение.

Для модели Курамото некогерентность является состоянием равновесия: если осцилляторы каждой частоты распределены равномерно по окружности, то они навсегда останутся распределенными равномерно. Несмотря на то что осцилляторы бегут по окружности, их равномерное распределение остается неизменным. Нерешенная проблема заключалась в том, остается ли это состояние равновесия устойчивым, подобно воде в стакане, или неустойчивым, подобно карандашу, балансирующему на кончике своего грифеля. Если оно неустойчиво, это означало бы, что синхронизм мог бы возникнуть самопроизвольно и что бегуны со временем соберутся в группу.

Этот вопрос не давал покоя ученым в течение 15 лет. Сам Курамото публично признавался в этом. В своей книге он написал, что не знал, как подступиться к решению этой проблемы. Этот вопрос ставил ученых в тупик, поскольку существовало бесконечно большое множество способов некогерентной организации осцилляторов. Именно в этом заключалось главное препятствие. Некогерентность не была каким-то одним состоянием; это было семейство из бесконечно большого числа состояний.

На протяжении многих лет мне не удавалось добиться хоть какого-то успеха в решении проблемы устойчивости. Однажды поздно вечером, в момент, когда я уже был готов погрузиться в сон, у меня в голове мелькнула неожиданная идея: а что, если осцилляторы похожи не на бегунов, а на молекулы в жидкости! Точно так же как вода состоит из триллионов дискретных молекул, эта воображаемая «осцилляторная жидкость» должна состоять из триллионов дискретных точек, бегущих по окружности[45].

Вообще говоря, родившийся в моей голове образ должен был выглядеть еще более сложно и необычно. Мне нужно было вообразить множество разных жидкостей, по одной для каждой частоты, представленной в соответствующем распределении частот. Точнее говоря, бесконечно большое число разных частот, подобно сочетанию цветов в радуге. Поэтому я нарисовал в своем воображении радугу цветных жидкостей, причем все они «завихряются» вокруг одной и той же окружности, никогда не смешиваясь между собой, поскольку осцилляторы никогда не меняют свою естественную частоту. Преимущество этой психоделической картины заключается в том, что некогерентность становится единственным состоянием. Таким образом, я имею дело уже не с бесконечно большим семейством, а лишь с одним состоянием однородной плотности, причем каждая цветная жидкость равномерно распределена по всей окружности.

Я буквально выскочил из постели, схватил карандаш и бумагу. В голове засыпающего человека чаще всего возникают всевозможные фантастические картины, но идея, родившаяся в моей голове, казалась мне очень близкой к тому, что имеет место в реальности. Первым делом мне нужно было адаптировать законы механики жидкостей к моей воображаемой «осцилляторной жидкости». Затем я составил уравнения для создания стандартного теста на устойчивость: вывести систему из равновесия, решить уравнения для соответствующих возмущений (эти уравнения имеют решение, поскольку они линейны, даже если исходная система не является линейной) и проверить, нарастают ли эти возмущения или, наоборот, сходят на нет.

Составленные мною уравнения показали, что ответ зависит от того, насколько подобны между собой осцилляторы. Я нашел, что в случае, если они идентичны или почти идентичны, возмущения нарастают по экспоненциальному закону по мере того, как осцилляторы сближаются между собой по фазе, образуя зачаточную форму синхронизма. Затем родилась формула, описывающая скорость экспоненциального роста (аналогичная процентной ставке, определяющей скорость приращения суммы на вашем банковском счете). Никто до меня такой формулы не смог предложить. Это был точный прогноз, правильный или неправильный – другое дело. Наутро мне предстояло проверить свои догадки на компьютере.

У меня вспотели ладони, когда я, строка за строкой, проводил свои вычисления. Все работало! Я наблюдал рождение порядка. Затем я ненадолго остановился. Существует ли интервал критических частот, в котором скорость нарастания падает до нуля, а некогерентность уже не является неустойчивой? Да, такое критическое состояние возникает при достижении такого же порога, который был обнаружен Курамото. Это выглядело весьма убедительно. Итак, я нашел новый способ вычисления фазового перехода – точки замерзания, при которой впервые наступает синхронизация.

Через несколько часов после восхода солнца я позвонил своему сотруднику Ренни Миролло, чтобы соотщить ему приятную новость. Я начал описывать свои соображения относительно «осцилляторной жидкости», но он быстро прервал меня: «К чему вся эта софистика?» Будучи «чистым» математиком, он никогда не изучал механику жидкостей и доверял лишь уравнениям, не прибегая к помощи воображения. Мои вычисления казались ему весьма сомнительными. Но я был уверен в своей правоте. Несколько позже в тот же день я вернулся к себе в офис и убедился в том, что предсказанные мною скорости нарастания идеально совпадали с результатами компьютерного моделирования. Ренни быстро заключил мир с «осцилляторной жидкостью».