Математика для любознательных (сборник) - Яков Перельман

Задача приводит к противоречивому требованию, и значит - ее решение невозможно.

Совершенно так же невозможно и составление требуемым образом сумм в 3 рубля и в 2 рубля. В первом случае, как каждый легко может убедиться, получается уравнение:

9х + 3у = 40;

во втором:

9x + 3y = 20.

Оба равенства невозможны, так как ни 40, ни 20 не делятся без остатка на 3.

Сказанным задача собственно исчерпывается. Но поучительно присоединить к ней рассмотрение вопроса, какие же суммы можно этими 20-ю монетами в самом деле уплатить, - разумеется так, чтобы получилось целое число рублей.

Если обозначим это число рублей через т, то у нас будет уравнение

50x + 20y + 5z = 100m,

или

10x + 4y + z = 20m,

при условии, что

x + y + z = 20,

откуда путем вычитания имеем:

9x + 3y = 20m-20 = 20 (m-1).

Так как 9х + 3у кратно 3, то и 20 (m-1) должно быть кратно 3.

Но 20 не делится на 3, так что кратным 3 должно быть только m-1.

Если m-1 равно 0, 3, 6, 9, 12 и т. д., то т должно быть на 1-цу больше, т. е. одно из чисел: 1, 4, 7, 10, 13 и т. д. Только такие суммы рублей могут быть уплачены нашими 20-ю монетами. Но очевидно, что 10 рублей - наибольшая сумма, так как 20 полтинников составляют уже 10 рублей. Принимая поэтому только четыре возможных суммы - в 1 р., в 4 р., в 7 р. и в 10 р., имеем четыре случая:

9х + 3у-20(m-1) = 0, или 60, или 120, или 180,

другими словами

3х + у = 0, или 20, или 40, или 60.

Только эти случаи и надо рассмотреть.

1) Один рубль. 3х + у = 0.

Это равенство возможно лишь тогда, когда и х, и у равны нулю, так как, приняв для них даже наименьшее целое число 1, получим 4, а не 0. Единственное решение для этого случая, следовательно, есть х = 0, у = 0, а потому z = 20, то есть один рубль можно уплатить, только употребив 20 пятаков.

Рассмотрим теперь другой крайний случай:

2) Десять рублей. 3х + у = 60.

Так как у должно быть кратно 3 (иначе сумма его с 3x не делилась бы без остатка на 3), то примем y = 0, 3, 6… Для случая у = 0 имеем х = 20 и z = 0. Это дает нам уже упомянутое решение: 20 пятаков. Но оно и единственное, потому что для у = 3 имеем х = 19, и х + у превышает высшую сумму 20.

3) Четыре рубля. 3х + у = 20.

Принимая

х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…,

получаем, что

y = 20-3x = 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4…

Имеют смысл, очевидно, только первые семь значений. Им соответствуют

z = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Четыре рубля можно, как видим, уплатить 7-ю различными способами, например: 6 полтинниками, 2 двугривенными и 12 пятаками.

4) Семь рублей. 3х + у = 40.

Здесь не приходится рассматривать значения для х от 0 до 9, так как при этом для у получаются числа от 40 до 13, и х + у составляет по меньшей мере 22, что нарушает требование. Остается рассмотреть поэтому лишь случаи:

x = 10, 11, 12, 13,

причем

у = 40-3х = 10, 7, 4, 1,

z = 0, 2, 4, 6.

Остальные случаи исключаются, так как ближайшее у уже отрицательное.

Этим вопрос исчерпывается полностью. Кто хотя немного имел дело с уравнениями, тот заметил, вероятно, что здесь не приходится оперировать так механически, как обычно. Это от того, что мы имеем в нашем случае больше неизвестных, нежели уравнений, а именно - 3 неизвестных при 2 уравнениях. Неизвестное z мы устранили и получили одно уравнение с двумя неизвестными х и у. Поэтому задача становится неопределенной; можно лишь установить взаимную обусловленность чисел х и у, так что для любого х можно найти соответствующее значение у. В сущности, имеется бесконечное множество пар решений задач такого рода. Но число их ограничивается требованием, вытекающим из сущности задачи, а именно: либо чтобы искомые числа были целые (как в нашей задаче, где речь идет о монетах), либо чтобы они не были отрицательные (наш случай), либо чтобы их сумма не превышала определенного числа (у нас - 20-ти), и т. п.

Итак, возвращаясь к первоначальной задаче, скажем: счетчик мог безопасно посулить сколь угодно большую награду - задача неразрешима. Для вас тем самым открывается легкая возможность предлагать своим друзьям крепкие головоломки. Можете обещать им величайшую награду - не попадетесь: как истые математики, вы можете быть твердо уверены в себе. А кто пожелал бы узнать подробнее об уравнениях в роде рассмотренных выше, - пусть спросит своего учителя математики о Диофанте Александрийском.

Примечание редактора

ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ

Упомянутый в конце очерка александрийский математик Диофант жил в III веке нашей эры. Им написана была «Арифметика», от которой до нас дошла только первая половина сочинения. В этом труде рассматриваются, между прочим, неопределенные уравнения, которые Диофантом и были впервые введены в математику; поэтому имя его осталось навсегда связанным с этими уравнениями.

О жизни Диофанта известно лишь то, что сообщается в надписи, сохранившейся на его могильном памятнике, - надписи, которая составлена в форме следующей задачи:

Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его составляло прекрасное детство; Двенадцатая часть протекла еще жизни, - покрылся Пухом тогда подбородок; седьмую в бездетном Браке провел Диофант. Еще пять прошло лет - Был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца-сына, Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой Дал на земле по сравненью с отцом. В печали глубокой Старец земного удела конец восприял, переживши Года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, Скольких лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?

Составив уравнение:

узнаем из его решения (x = 84), что Диофант умер 84 лет, женился 21 года, стал отцом на 38 году и потерял сына на 80-м году.

Барри Пэна [37]