Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

А теперь вопрос, на который можно дать целых три прелюбопытных ответа, причем правильными из них будут сразу два! Сколько существует комбинаций, в которых есть как минимум один туз? Уверен, вас так и подмывает ответить что, само собой, неправильно. Вы же исходите (и напрасно) из того, что сначала нужно выбрать туза (4 варианта), а потом собирать любые другие 4 карты из 51 оставшейся в колоде. Неправильно здесь то, что вы таким образом просчитываете некоторые комбинации (а именно – те, в которых больше одного туза) несколько раз. Например, комбинация будет посчитана дважды: сначала для Т♠ в качестве первой, основной карты, а затем так же для Правильный способ решить эту задачу – разбить ее на четыре задачи поменьше, в зависимости от того, сколько тузов будет в комбинации. Так, комбинаций именно с одним тузом будет (сначала выбираем туза, потом – остальные 4 карты другого достоинства). Затем отдельно же просчитываем комбинации с двумя, тремя и четырьмя тузами. В результате получаем

Но проще всего будет пойти от обратного. Сначала посчитаем количество комбинаций без туза (это легче легкого) – А количество комбинаций по крайней мере с одним тузом, таким образом, –

Я уже говорил чуть выше, что «цена» комбинаций в покере зависит от частоты их появлений: чем реже комбинация, тем она «ценнее». То есть если шансов собрать одну пару больше, чем сразу две, одна пара ценится куда меньше двух. Вот «стоимость» всех комбинаций, от меньшей к большей:

На этот случай есть эффективная «запоминалка»: «Раз, два, три, стрит, флеш; два-три, четыре, стрит-флеш» (где «два-три» – это фул-хаус).

А теперь предположим, что в колоде появились джокеры. Всего карт у нас становится 54, причем джокеры (всего их два) могут «превращаться» в карту любой масти и любого достоинства – в зависимости от того, что вам нужно для наилучшей комбинации. То есть если у вас на руках и джокер, разумнее всего будет посчитать его тузом, чтобы получилась тузовая тройка. Можно «превратить» джокера и в короля, конечно, но тогда у вас будет две пары, что хуже, чем тройка[12].

Но здесь-то и начинается самое интересное. Следуя традиционному порядку карт, мы можем посчитать эту комбинацию и как тройку, и как две пары, а можем – только как тройку, исключив ее из числа двух пар. Последнее выглядит наиболее разумно, но ведь это значит, что общее количество комбинаций с тройками значительно увеличивается, а с двумя парами – уменьшается, что превращает последние в более редкие. Мы, конечно, можем сказать, что теперь две пары имеют бóльшую ценность, но проблему этим не решишь: она всего лишь «перевернется вверх ногами», ведь количество двух пар увеличится, а количество троек – уменьшится. Из этого всего следует странный на первый взгляд вывод, сделанный математиком Стивом Гэдбойсом в 1996 году: при игре в покер с джокерами невозможно ранжировать «ценность» комбинаций по частоте их появления.

Вот вам во всей его красе треугольник Паскаля:

Треугольники уже знакомы нам по главе 1, так что мы хорошо знаем, насколько интересные закономерности могут появляться из организованных таким образом чисел. Еще более интересные (и куда более красивые) закономерности получатся в треугольнике чисел о которых мы только что узнали. Такой треугольник называется Паскалевым – тот, который изображен чуть выше. У нас есть формула Давайте превратим все ее символы в числа и поищем закономерности (см. изображение треугольника чуть ниже). Большинство из них будут подробно описаны в этой главе, но, если объяснения вдруг покажутся вам скучными, можете смело их пропускать и просто наслаждайтесь стройной красотой самих закономерностей.

Верхний (или нулевой) ряд представлен одним-единственным значением – (не забывайте: 0! = 1). Каждый ряд начинается с единицы и ею же заканчиваются, потому что

Взгляните на пятый ряд: