Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Алекс Беллос

Первое, опубликованное в 1980 году оригами-доказательство делосской задачи было дано японским математиком; затем один американец в 1986 году предложил трисекцию угла. Всплеск интереса происходил отчасти от усталости — математикам изрядно надоело более чем двухтысячелетнее господство евклидовой ортодоксии. Ограничения, налагаемые Евклидом, — работа только с циркулем и линейкой — сузили границы математических изысканий. Как оказалось, оригами дает гораздо больше возможностей, чем циркуль и линейка, например при построении правильных многоугольников. Евклид смог построить равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник и шестиугольник, однако семиугольник, как мы помним, и девятиугольник ему не покорились. Оригами позволяет относительно легко получать семиугольники и девятиугольники с помощью складывания, хотя по-настоящему серьезным делом оказывается построение 11-угольника. (Строго говоря, здесь речь идет об оригами, где допустимы только однократные складывания. Если разрешить многократные складывания, то в принципе можно построить любой многоугольник, хотя физическое построение из-за своей сложности может оказаться практически невозможным.)

Так, далеко уйдя от детской забавы, оригами вышло на передний край математики.

И это действительно так. Когда Эрику Демейну было 17 лет, он с соавторами доказал возможность создания любой геометрической фигуры с прямолинейными сторонами путем складывания листа бумаги и проведения всего одного разреза. Определившись с тем, какую именно фигуру хотите получить, вы разрабатываете схему складывания, затем складываете лист, проводите единственный разрез, разворачиваете то, что получилось, и оттуда выпадает желанная фигура. С первого взгляда может показаться, что подобный результат представляет интерес только для школьников, занятых созданием рождественских украшений всевозрастающей сложности. Однако работа Демейна нашла применение в промышленности, в частности при проектировании автомобильных подушек безопасности. Оригами находит применение в самых неожиданных сферах: в робототехнике, при создании артериальных стентов и солнечных батарей на искусственных спутниках Земли.

Гуру современного оригами — Роберт Лэнг, который кроме развития теории, лежащей в основе складывания бумаги, превратил это занятие в раздел скульптуры. В прошлом физик из NASA, Лэнг был пионером в использовании компьютеров при разработке схем складывания с целью создания все более сложных фигур. Среди созданных им фигур — жуки, скорпионы, динозавры и человек, играющий на рояле. Надо заметить, что схемы складывания почти всегда столь же прекрасны, как и готовые изделия.

Оригами скорпион Роберта Лэнга и соответствующая схема складывания

Сегодня США претендуют на первенство в исследовании оригами ничуть не меньше, чем Япония, — отчасти потому, что оригами настолько вплелось в ткань японского общества в качестве вида досуга, что японцам оказалось не так легко воспринимать это занятие серьезно, как науку. Делу не слишком помогает и произошедшее в Японии разделение на фракции между различными организациями, каждая из которых оставляет только за собой исключительное право олицетворять оригами. Меня удивило, когда Кадзуо Кобаяши — председатель Международной ассоциации оригами — отверг работу Роберта Лэнга как элитарную. «Он делает это для себя, — пробурчал Кобаяши. — Мое же оригами способствует реабилитации больных и помогает обучению детей».

Тем не менее множество японских любителей оригами создают новые интересные вещи, и я отправился в Цукубу, современный университетский город немного к северу от Токио, чтобы встретиться с одним из таких мастеров оригами. Кадзуо Хага — энтомолог на пенсии, его профессиональная специализация — эмбриональное развитие яиц насекомых. Малюсенький офис Хаги завален книгами и заставлен витринами с бабочками. Хага, которому сейчас 74 года, носит большие очки с тонкой черной оправой — она придает его лицу геометрические очертания. У Хаги высокий лоб и мягкие седые волосы, а вид — профессорский. Он довольно застенчивый человек, и поэтому заметно волновался по поводу моих предстоящих расспросов.

Но застенчивость Хаги касается только общения с другими людьми, а в оригами он — настоящий бунтарь. Определившись для себя с принадлежностью к основному течению оригами, он тем не менее никогда не чувствовал себя связанным какими-либо условностями. Например, согласно правилам традиционного японского оригами, имеется только два способа сделать первое складывание. Оба представляют собой складывание пополам — или по диагонали, так что соединяются два противоположных угла, или по средней линии, из-за чего вместе оказываются соседние углы. Называются они «первичными складками».

Хага решил нарушить традиции. Что, если сложить угол на середину стороны? Не безумная ли идея?! Первый раз он сделал такое в 1978 году, и эта простая операция открыла двери в грандиозный новый мир. Хага получил три прямоугольных треугольника, но то были не просто прямоугольные треугольники. Все они оказались египетскими — самыми известными в истории и самыми каноническими треугольниками в мире.

Подстегиваемый трепетом сделанного открытия, он написал письмо о новом складывании профессору Коджи Фушими — физику-теоретику, известному своим интересом к оригами. «Я так и не получил ответа, — сказал Хага, — но затем он внезапно опубликовал статью в журнале „Mathematics Seminar“, ссылаясь там на теорему Хаги. Вот что получилось вместо ответа». С тех пор имя Хаги получили две другие «оригами-теоремы», а по его словам, у него таких еще с полсотни.

Теорема Хаги: треугольники А, В и С — египетские

Другая теорема Хаги

В теореме Хаги угол складывается на середину стороны. Хага задался вопросом, возникнет ли что-нибудь интересное, если сложить угол на случайную точку на стороне. Решив это продемонстрировать мне, он взял синий квадратный листок из набора бумаги для оригами и красной ручкой отметил произвольную точку на одной из сторон, сложил листок так, чтобы один из противоположных углов попал на эту отметку, и сделал складку, а потом развернул листок. Затем он сложил его так, чтобы другой противоположный угол попал на ту же отметку, и сделал вторую складку, — получился квадрат с двумя пересекающимися линиями.

Хага показал мне, что пересечение двух складок всегда происходит на средней линии листа бумаги и что расстояние от выбранной произвольной точки до пересечения всегда равно расстоянию от пересечения до противолежащих углов. Меня это просто потрясло. Точка выбиралась случайным образом и вовсе не по центру. И тем не менее процесс складывания подобен самокорректируемому механизму!