Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства - Леонард Млодинов

Большинству из нас в современном мире куда понятнее карты и планы улиц, нежели прямые, обозначенные загадочными символами а или X. Поэтому давайте-ка рассмотрим доказательство Прокла в более привычных обстоятельствах — скажем, на примере Пятой авеню в Нью-Йорке. Представим еще одну авеню, параллельную Пятой, и назовем ее Шестой. Не забываем, что под параллельностью, по Евклиду, мы подразумеваем их «непересекаемость», т. е. Пятая авеню не пересекает Шестую.

Высоко над кофейнями и лотками с хот-догами возносится почтенное здание, в котором размещается уважаемое издательство самых качественных на свете книг — «Фри Пресс» (по совпадению — первый издатель этой). Никоим образом не принижая заслуг «Фри Пресс», назначим его на роль «точки, не лежащей на данной прямой».

Затем, в точном соответствии с математической традицией, запомним, что нашими допущениями об этих улицах будут только факты, которые мы упомянули выше. Хотя в целях предметного иллюстрирования доказательства мы имеем в виду именно эти две авеню, как математики мы не можем включать в наше доказательство те свойства этих авеню, которые заранее не оговорили. Если вам известен другой издатель (неудачник — в отношении этой книги, по крайней мере) под названием «Рэндом Хаус», размещающийся дальше по улице, а также что Пятая и Шестая авеню отстоят друг от друга на некоторое расстояние, и что на некоем перекрестке там обитает слюнявый псих, выбросьте это все из головы. Математическое доказательство — упражнение в применении лишь исчерпывающе предложенных фактов, а в евклидовых «Началах» никакие особые свойства Нью-Йорка не значатся. Подобное неоправданное допущение вы, может, сделали бы, не задумываясь, и оно превратило бы все последующие доводы Прокла в ложные.

Итак, мы готовы сформулировать аксиому Плейфэра в предложенных нами терминах:

Это утверждение не в точности повторяет аксиому Плейфэра, поскольку мы, как и Прокл, допускаем, что существует хотя бы одна прямая — или улица (Шестая авеню) — параллельная данной (Пятой авеню). Это, вообще-то, еще требуется доказать, но Прокл интерпретировал одну из евклидовых теорем как гарантию этого факта. Примем это допущение и мы, и поглядим, можно ли, следуя логике Прокла, доказать аксиому в предложенной формулировке.

Чтобы доказать этот постулат, т. е. превратить его в теорему, необходимо продемонстрировать, что любая улица, проходящая через «Фри Пресс» и при этом не Шестая Авеню, непременно пересекает Пятую. Вроде бы это очевидно и следует из нашего повседневного опыта — именно поэтому такая улица и называется поперечной. Нам всего-то и надо, следовательно, доказать это без применения постулата параллельности. Начнем с того, что представим некую третью улицу, у которой лишь одно свойство: она прямая и проходит через «Фри Пресс». Назовем ее Бродвеем.

В своем доказательстве Прокл начал бы с того, что двинулся бы от «Фри Пресс» вдоль Бродвея к центру города. Вообразим улицу, идущую от того места Шестой авеню, где остановился Прокл, и перпендикулярную этой самой Шестой авеню. Назовем ее Николай-стрит, см. рисунок на следующей странице.

Николай-стрит, Бродвей и Шестая авеню образуют прямоугольный треугольник. По мере продвижения Прокла в центр города этот треугольник становится все больше.

Доказательство Прокла

Стороны этого треугольника, включая Николай-стрит, могут стать сколь угодно длинными. Отдельно отметим, что протяженность Николай-стрит постепенно сделается больше расстояния между Пятой и Шестой авеню. Следовательно, сказал бы Прокл, Бродвей пересечет Пятую авеню — что и требовалось доказать.

Доказательство это простое, но ложное. Для начала в нем есть малозаметное ошибочное использование концепции «все больше». Николай-стрит может, конечно, удлиняться дальше, но так и не стать длиннее одного квартала, как ряд чисел 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6…, который все отрастает, но так и не переваливает за единицу. Этот недостаток можно исправить. Как и Птолемей, Прокл сделал необоснованное допущение. Он применил свойство параллельных дорог, которое интуитивно зримо, но никак им не доказано. Каково же это допущение?

Ошибка Прокла — в том, что он применил формулировку «Пятая и Шестая авеню отстоят друг от друга». Вспомните наше предупреждение: «…если вам известно… что Пятая и Шестая авеню отстоят друг от друга на некоторое расстояние… выбросьте это все из головы». И хотя Прокл не уточняет, на каком именно расстоянии находятся эти две улицы, он утверждает, что это расстояние постоянно. Таков наш жизненный опыт в отношении параллельных прямых — и Пятой и Шестой авеню, но его никак нельзя математически доказать, не ссылаясь на постулат параллельности, ибо это он и есть.

В сходном тупике оказался и великий багдадский ученый IX века Сабит (Табит) ибн Курра[139]. Его логику можно постичь, вообразив, как Сабит прогуливается по прямой вдоль Пятой авеню, держа мерный шест длиной в один нью-йоркский квартал перпендикулярно той же Пятой авеню. Идет Сабит вдоль Пятой авеню, а конец его мерного шеста какую описывает траекторию? Сабит утверждал, что эта траектория — прямая линия, допустим, Шестая авеню. Из этого допущения Сабит и «доказывал» постулат параллельности. Линия, описываемая дальним концом мерного шеста, — определенно некоторая кривая, но на каком основании можем мы утверждать, что она есть прямая линия? Выясняется, что единственным основанием для этого утверждения является — совершенно верно! — постулат параллельности. Лишь в евклидовом пространстве набор точек, равноудаленных от некоторой прямой, есть прямая. Сабит, таким образом, повторил ошибку Птолемея.

Рассуждения Сабита касаются глубоких аспектов самого понятия пространства. Евклидова система геометрии зависит от возможности двигать фигуры и накладывать их одну на другую. Именно так проверяется конгруэнтность, или эквивалентность, геометрических фигур. Вообразите, что перемещаете треугольник. Естественный способ произвести такое перемещение — взять каждую из трех его сторон, являющихся сегментом прямой линии, и сдвинуть на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Но если набор точек, равноудаленных от данной прямой, не есть прямая, стороны смещенного треугольника перестанут быть прямыми. В процессе движения фигура исказится. А может ли пространство действительно иметь такое свойство? К сожалению, вместо того, чтобы довести это рассуждение до чудесных мест, в которые оно вело, Сабит интерпретировал угрозу искажения как «доказательство», что его допущение о равноудаленности прямых обоснованно.