Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

1, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 4, 2, 0, 2, 1, 0, 2, 2, 4…

Если подбрасывать сотню монет, последовательность выглядит так:

4, 4, 2, 5, 2, 1, 3, 8, 10, 7, 4, 4, 1, 2, 1, 0, 10, 7, 5…

А в случае тысячи монет будет получена такая последовательность:

14, 1, 11, 28, 37, 26, 8, 10, 22, 8, 7, 11, 11, 10, 30, 10, 3, 38, 0, 6…

Как видите, отклонения от 50 на 50 в абсолютном выражении становятся больше по мере увеличения количества подбрасываний монет, хотя (как того требует закон больших чисел) эти отклонения становятся меньше в случае относительной доли монет, выпавших той или иной стороной. Де Муавр пришел к выводу, что типичное отклонение[69] зависит от квадратного корня из количества монет, которые вы подбрасываете. Подбросьте в сто раз больше монет, чем раньше, и типичное отклонение возрастет в 10 раз – во всяком случае, в абсолютном выражении. В случае доли от общего количества подбрасываний отклонение сокращается по мере увеличения количества монет, поскольку квадратный корень из количества монет увеличивается гораздо медленнее, чем само количество монет. Тот, кто подбрасывает тысячу монет, порой отклоняется от уровня равномерного распределения на целых 38 аверсов, однако – с точки зрения доли от общего количества бросков – это составляет всего 3,8 % от распределения 50 на 50.

Наблюдение де Муавра совпадает с концепцией, лежащей в основе расчетов стандартной погрешности в результатах политического опроса. Если вы хотите сократить уровень погрешности в два раза, вам необходимо опросить в четыре раза больше людей. Но если вы хотите знать, как правильно оценить довольно большое количество выпавших аверсов, можно определить, на сколько квадратных корней из числа попыток данное значение отклоняется от 50 %. Квадратный корень из 100 равен 10. Следовательно, если я получил 60 аверсов за 100 попыток, это и есть отклонение на один квадратный корень от распределения 50 на 50. Квадратный корень из 1000 равен почти 31; следовательно, если я получил 538 аверсов за 1000 попыток, значит, мне удалось совершить нечто еще более удивительное, хотя во втором случае я получил всего 53,8 % аверсов, тогда как в первом случае – 60 %.

Однако де Муавр еще не поставил точку в своих изысканиях. Он обнаружил, что в долгосрочной перспективе отклонения от 50 на 50 всегда стремятся сформировать идеальную колоколообразную кривую, которую мы называем нормальным распределением. Основоположник статистики Фрэнсис Исидор Эджуорт предложил называть эту кривую шлемом жандарма{47}. (Должен признаться, мне жаль, что этот термин не прижился.)

Колоколообразная кривая («шлем жандарма») высокая посередине и плоская по краям; другими словами, чем дальше отклонение от нуля, тем меньше вероятность такого отклонения. Это можно точно представить в количественной форме. Если вы подбрасываете N монет, вероятность того, что в итоге вы отклонитесь от 50 % не более чем на квадратный корень из N, составляет 95,45 %. Квадратный корень из 1000 равен 31; в действительности восемнадцать из представленных выше двадцати попыток в случае подбрасывания тысячи монет (или 90 %) были в пределах 31 аверсов больше или меньше 500. Если я продолжил бы игру, относительная доля количества раз, когда я попадал бы в диапазон от 469 до 531, все больше приближалась бы к показателю 95,45 %[70].

Возникает ощущение, будто нечто воздействует на то, как это происходит. Вполне допускаю, что подобное ощущение было и у самого де Муавра. Согласно многим свидетельствам, он рассматривал закономерности в поведении монет при многократном подбрасывании (или в любом другом эксперименте при наличии фактора случайности) как проявление воли Бога, превращавшего любые кратковременные особенности монет, игральных костей и человеческих жизней в предсказуемое долгосрочное поведение, которым управляют непреложные законы и поддающиеся расшифровке формулы{48}.

Однако такое ощущение опасно, поскольку как только вы примете за истину, будто чья-то трансцендентальная воля (Божья ли, Госпожи ли Удачи или Лакшми[71] – чья конкретно, не имеет значения) подталкивает монеты к тому, чтобы они выпадали лицевой стороной вверх в половине случаев, вы сразу начинаете верить в так называемый закон средних: если пять монет подряд выпадают аверсом, тогда следующая почти наверняка выпадет реверсом. Если у кого-то есть три сына, следующей наверняка будет дочь. В конце концов, разве де Муавр не говорил нам, что крайние результаты (такие как четыре сына подряд) в высшей степени маловероятны? Говорил, и так оно и есть на самом деле. Тем не менее, если у вас уже есть три сына, возможность того, что четвертым тоже будет сын, далеко не маловероятна. В действительности вероятность, что у вас снова будет сын, такая же, как если это был бы ваш первый ребенок[72].

На первый взгляд может показаться, что это противоречит закону больших чисел, который должен был бы разделить ваше потомство в равных частях на девочек и мальчиков[73]. Однако это только кажущееся противоречие. Легче понять, что происходит, на примере монет. Я мог бы начать подбрасывать монеты и получить 10 аверсов подряд. Что произойдет далее? Прежде всего вы заподозрите, будто что-то не так с вашей монетой. Во второй части книги мы вернемся к этому вопросу, но пока будем исходить из предположения, что монета у нас правильная. Итак, закон гласит: по мере того как я подбрасываю монету все больше и больше раз, относительная доля выпавших аверсов должна приближаться к 50 %.