Электроника для начинающих (2-е издание) - Чарльз Платт

к изучению дифференциальных уравнений.

Для простоты используем такую аналогию. На рис. 2.78 вы видите лакомку, которому достался вкусный торт. Вначале наш гурман очень голоден, и поэтому он отрезает 63 % от торта и съедает этот кусок за одну секунду – это его «постоянная времени» поедания торта. Во второй заход он берет 63 % от оставшегося торта; а поскольку он уже не настолько голоден, ему требуется еще одна секунда (помните о том, что это его постоянная времени). В третий раз он опять отрезает 63 % от остатка и снова поедает его за секунду. И так далее. Желудок постепенно наполняется тортом, подобно тому, как конденсатор наполняется электронами. Но он никогда не съест весь торт, потому что всегда берет только 63 % от остатка.

На рис. 2.79 этот процесс показан еще одним способом. По истечении каждой константы времени (которая равна 1 секунде, если у нас конденсатор емкостью 1000 мкФ и резистор 1 кОм) конденсатор получает 63 % разности между текущим напряжением и напряжением, подаваемым от источника питания.

Рис. 2.78. Если съедать только 63 % торта, оставшегося на тарелке, то желудок наполняется так же, как заряжается конденсатор. Не имеет значения, как долго будет продолжаться трапеза, – торт никогда не кончится, а желудок никогда не будет полностью заполнен

Рис. 2.79. Другой взгляд на процесс заряда конденсатора

В мире идеальных компонентов процесс заряда будет продолжаться бесконечно. Но в реальных условиях мы считаем, что по истечении временного интервала, равного пяти постоянным времени, заряд конденсатора приблизится к 100 %, и можно считать процесс завершенным.

График заряда конденсатора

Мне хотелось бы начертить график, показывающий напряжение на обкладках конденсатора по мере его заряда. Чтобы сделать это, я рассчитаю необходимые значения с помощью формулы для постоянной времени.

Предположим, VCAP – это напряжение на конденсаторе в данный момент, a VDIF – разность между текущим напряжением на конденсаторе и напряжением питающей батареи. Приведенная далее формула даст ответ на вопрос, каким будет новое напряжение конденсатора по прошествии одной постоянной времени. Обозначим это новое напряжение как VNEW. Формула выглядит следующим образом:

VNEW = VCAP + (0,63 × VDIF)

Величина 0,63 означает то же, что и 63 %.

Предположим, батарея выдает ровно 9 В, а конденсатор начал заряжаться с нулевого напряжения. Итак, VCAP = 0, a VDIF = 9. Подставим эти значения в формулу:

VNEW = 0 + (0,63 × 9)

Расчет на калькуляторе дает 0,63 × 9 = 5,67. Поэтому по истечении одной постоянной времени (одной секунды с резистором номиналом 1 кОм и конденсатором емкостью 1000 мкФ) на конденсаторе будет напряжение 5,67 В.

А что будет в следующую секунду? Необходимо повторить вычисления, подставив новые значения. Теперь текущее напряжение конденсатора, VCAP, равно 5,67. Батарея по-прежнему выдает 9 В, поэтому значение VDIF = 9 − 5,67 = 3,33. Подставим эти значения в ту же формулу:

VNEW = 5,67 + (0, 63 × 3,33)

Калькулятор подсказывает, что произведение 0,63 на 3,33 составляет около 2,1. А 2,1 плюс 5,67 даст 7,77. Значит, после второй секунды напряжение на конденсаторе будет равно 7,77 В.

Многократно повторив аналогичные вычисления, получим последовательность чисел, подобную приведенной далее (с округлением до сотых). Значения будут соответствовать напряжению на конденсаторе в конце каждой секунды, при условии что напряжение источника питания равно 9 В:

После 1 секунды: 5,67 В

После 2 секунды: 7,77 В

После 3 секунды: 8,54 В

После 4 секунды: 8,83 В

После 5 секунды: 8,94 В

После б секунды: 8,98 В

График на рис. 2.80 был получен путем построения гладкой кривой через эти расчетные точки. Наибольшее значение по оси абсцисс составляет 6 секунд, поскольку при этом напряжение на конденсаторе вплотную приблизилось к 9 В.

Рис. 2.80. График иллюстрирует процесс заряда конденсатора с течением времени

Экспериментальное подтверждение

В предыдущем разделе я рассказал вам, как рассчитать напряжение на конденсаторе при его заряде через резистор. Но как подтвердить, что я прав? Должны ли вы верить мне на слово?

Возможно, вы захотите проверить все самостоятельно. Другими словами, необходимо экспериментальное подтверждение, которое является важной частью процесса «Изучения через открытия».

Вернитесь к нашей предыдущей схеме и убедитесь, что номинал резистора равен 10 кОм, а не 1 кОм. Попросите кого-нибудь сесть рядом с вами, чтобы следить за временем, пока вы наблюдаете за дисплеем вашего мультиметра, показывающим значение в вольтах. Каждые 10 секунд ваш помощник подает команду, и вы в этот момент записываете показания мультиметра. Выполняйте все это в течение минуты.

Поскольку у вас резистор 10 кОм, а не 1 кОм, постоянная времени теперь составляет 10 секунд, а не одну. Поэтому ваши показания должны выглядеть как ряд напряжений, который я привел ранее с интервалами в 1 секунду (см. рис. 2.80), но теперь интервалы будут 10-секундными.

Ваши значения напряжения должны быть близки к моим, но не будут совпадать в точности. Почему? Есть множество причин.

• Ваша батарея не обеспечивает такое же напряжение, что и моя.

• Номинал вашего резистора не равен в точности 10 000 Ом.

• Емкость вашего конденсатора не точно 1000 микрофарад.

• Ваш мультиметр имеет погрешность.

• Вам требуется несколько микросекунд, чтобы снять показания мультиметра.

• Ваш помощник мог давать команду не в точности каждые 10 секунд.

Есть еще два фактора, о которых я не упомянул. Во-первых, конденсаторы сохраняют электрический заряд не идеально. Они обладают утечкой, из-за которой заряд постепенно убывает. Это происходит даже тогда, когда конденсатор набирает заряд. Ближе к концу процесса заряда электроны перетекают так медленно, что утечка (скорость, с которой они уходят обратно) становится существенной в сравнении с зарядкой.

Кроме того, ваш мультиметр имеет некоторое внутреннее сопротивление. Оно очень большое, но все же не бесконечное. Это значит, что мультиметр «крадет» небольшое количество заряда от конденсатора, пока вы измеряете напряжение. Да, сам процесс проведения измерений изменяет значение, которое вы пытаетесь определить! Это, на самом деле, очень распространенная проблема в физике и инженерном деле.

Я могу представить способы минимизации всех перечисленных факторов, но не знаю средства, позволяющего устранить их полностью. Всегда будет присутствовать некоторая экспериментальная погрешность. И ее приходится учитывать, когда вы проводите эксперимент, чтобы подтвердить теорию. Подтверждение может быть очень долгим процессом, требующим значительного