"Когда ты была рыбкой, головастиком - я..." и другие размышления о всякой всячине - Мартин Гарднер

Как я позже узнал от Дональда Кнута, известного ученого-компьютерщика из Стэнфордского университета, подобные ряды впервые были предложены Нараяной Пандитой в 1356 году, в главе 13 его замечательной работы, написанной на санскрите и озаглавленной «Ганита каумуди» («Услады лотосовых вычислений»)[61]. Кнут обсуждает ее и дает ссылки на другие работы в четвертом томе своего классического труда «Искусство компьютерного программирования»[62]. Позже эту последовательность заново открыл» четырнадцатилетний Марк Фейнберг. Он написал об этом в «Fibonacci Quarterly»[63]. В 1967 году Марк, уже второкурсник Пенсильванского университета, разбился на мотоцикле.

Доктор Матрикс, когда мы обедали с ним и с Дональдом Кнутом, сообщил нам еще об одной неправдоподобной диковинке, не связанной с числами Фибоначчи. Расположите десять цифр в алфавитном порядке, и они образуют случайное и весьма скучное с виду число 8 549 176 320. Разделите его на 5. Получится 1 709 835 264 — еще одно десятизначное число, где представлены все десять цифр! Разделите и его на 5. Получится 341 967 052,8 — третье число, где каждая из десяти цифр встречается по одному разу[64]!

Теперь разделим это число на 4. Окажется, что вы снова вернулись к самому первому — «алфавитному» — числу, только в нем теперь появилась десятичная запятая. Понимаете, отчего это произошло? Дважды разделив на 5 и один раз на 4, вы тем самым разделили первое число на 100[65].

Я послал эту диковинку, обнаруженную доктором Матриксом, своему другу Оуэну О'Ши, который родом из ирландского города Cobh (произносится «Коув»). Он — автор недавно вышедших «Магических чисел Профессора»[66]. В ответ Оуэн написал мне о множестве других удивительных свойств этого якобы «неинтересного» алфавитного числа. Например, оно раскладывается по степеням простых чисел как произведение 210, 33,5 и 61843. Это означает, что 8 549 176 320 без остатка делится на все числа от 1 до 9, исключая 7. Множитель 61 843 (тоже простое число) возникает довольно неожиданно.

О'Ши двумя способами делит число 8 549 176 320 по разрядам, получив следующее уравнение:

854 + 917 + 632 + 0 = 8 · 5 · 49 + (1 · 7 · 63) + 2 + 0

Каждая часть равна 2403.

Затем О'Ши составил число, воспользовавшись обратным алфавитным порядком, и получил 0 236 719 458. Представив разряды этого числа в виде слагаемых: 0 + 2367 + 19 + 4 + 5 + 8, — он снова пришел к сумме 2403.

Два американских математика, Джеймс Смоук и Томас Дж. Ослер, в своей книге «Волшебный трюк Фибоначчи»[67] сообщают еще об одном удивительном фокусе. Возьмем дробь 100/89. В десятичном виде она равна 1,123 595 505 61… Первые пять цифр в ней — это первые пять чисел Фибоначчи[68].

Добавьте два нуля в числитель и по девятке в начало и конец знаменателя, и у вас получится дробь 10000/9899, то есть

1,0102030508132134559046368…

Заметьте: первая единица, а затем девять следующих пар цифр представляют собой десять первых чисел в ряду Фибоначчи!

Авторы приводят доказательство, что если такую процедуру повторять бесконечно, то можно получить все числа Фибоначчи из этого ряда! Каждый следующий шаг увеличивает количество получаемых чисел Фибоначчи на пять. Таким образом, если представить дробь 1000000/998999 в десятичном виде и объединить составляющие ее цифры в триады, мы увидим, что перед нами первые пятнадцать чисел Фибоначчи; следующий шаг даст нам первые двадцать пять элементов ряда, и так до бесконечности!

Этот забавный случай рассмотрен в упражнении G43 «Конкретной математики» Грэхема, Кнута и Паташника[69], заметивших, что данное явление впервые обнаружили Брук и Уолл (дается ссылка на их статью в «Fibonacci Quarterly»)[70]. Кнут сообщил мне, что похожие дроби, такие как 1000000/989899 и 1000000000/898998999, сходным образом порождают числа трибоначчи!

Полагаю, мало кто из математиков догадывается, что ряд Фибоначчи может служить основой для арифметической записи. Каждое целое положительное число можно уникальным способом выразить как сумму некоторого набора чисел Фибоначчи, не следующих одно за другим. Знаете ли вы, что двенадцатое число Фибоначчи — квадрат двенадцати, 144? Это единственное число Фибоначчи, являющееся полным квадратом, если не считать 1. А «кубы Фибоначчи» — только 1 и 8. Другие забавные подробности см. в главе 13 моего «Математического цирка»[71].

А существует ли простой способ проверить, принадлежит ли какое-нибудь число к ряду Фибоначчи? Да, такой способ есть. Целое положительное число n является числом Фибоначчи, если (и только если) 5n2 + 4 или 5n2 — 4 представляет собой полный квадрат! Можете развлечься, проверяя какие-нибудь целые положительные числа на калькуляторе. 666 — число Фибоначчи? Нет! А 123? A 987?