Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

В своей знаменитой статье 1859 года Риман предложил улучшенную, как он считал, формулу для оценки количества простых чисел вплоть до заданного числа. Однако для применения формулы нужно было знать, при каких значениях дзета-функция Римана равна нулю. Дзета-функция Римана определена для всех комплексных чисел вида x + iy, кроме случаев, когда x = 1. Функция равна нулю при всех отрицательных четных целых значениях (–2, –4, –6 и так далее), но для решения вопроса о распределении простых чисел они не представляют интереса, поэтому эти нули называют “тривиальными”. Риман понял, что функция также имеет бесконечное число нулей в критической полосе между x = 0 и x = 1 и что эти “нетривиальные” нули симметричны относительно прямой x = S. Его знаменитая гипотеза гласит, что все нетривиальные нули комплексной дзета-функции как раз находятся точно на этой прямой.

Если гипотеза Римана верна, из этого будет следовать, что в пределах, установленных теоремой о распределении простых чисел, те распределены максимально регулярно. Другими словами, допуская, что есть некая доля “шума” или “хаоса”, которая мешает точно предсказать, где появится следующее простое число, гипотеза Римана говорит нам, что шум этот очень четко регламентирован, что кажущаяся анархия в рядах простых чисел на деле тщательно срежиссирована. Можно для примера представить себе игральную кость со множеством граней, у которой вероятность выпадения простого числа составляет 1/log n. Предположим, что для каждого n, равного или большего 2, вы бросаете кость n раз. В идеале простое число должно выпасть n/log n раз. Но идеал, как известно, недостижим, поэтому в реальности всегда будет отклонение от ожидаемого значения – погрешность. Величина этой погрешности определяется правилом, которое называют законом больших чисел. В гипотезе Римана утверждается, что распределение простых чисел отклоняется от n/log n не больше, чем это следует из закона больших чисел.

Есть немало веских аргументов, свидетельствующих об истинности гипотезы Римана. Риман сам проверил несколько первых нетривиальных нулей на соответствие правилу, а Алан Тьюринг с помощью одного из первых компьютеров протестировал первую тысячу. В 1986 году было объявлено, что первые миллиард с половиной нетривиальных нулей дзета-функции Римана находятся точно на критической прямой, где действительная часть функции равна S. Гораздо раньше, еще в 1915 году, Годфри Харолд Харди доказал, что число нетривиальных нулей на этой прямой бесконечно (хотя и не факт, что все нетривиальные нули лежат именно на ней). В 1989 году американский математик Брайан Конри представил доказательство, что число нулей, лежащих на критической прямой, превышает две пятых от общего количества нулей в критической полосе. Шестью годами позже, после нескольких лет работы проекта распределенных вычислений ZetaGrid, было получено подтверждение того, что первые 100 миллиардов нулей дзета-функции Римана приходятся ровно на критическую прямую, без каких бы то ни было исключений.

Учитывая, что все говорит в пользу истинности гипотезы Римана, сомнения в ее правильности могут показаться невиданным упрямством. Однако в математике между уверенностью и убедительным доказательством – дистанция огромного размера. В отсутствие строгого доказательства даже самые ценные для науки результаты, базирующиеся на предположении теоретика как на чем-то само собой разумеющемся, пусть и такого выдающегося теоретика, как Бернхард Риман, – не более чем карточный домик. Пока существует возможность, что хотя бы один нетривиальный нуль в критической полосе находится где угодно, но не на прямой x = S, любые попытки полагаться на замечательную догадку Римана как на истину означают, что мы выдаем желаемое за действительное.

Между тем важность доказательства истинности (или ложности) гипотезы Римана выходит за рамки не только теории чисел, но и математики в целом. Оказалось, что существует неочевидная, но прямая связь между предположением Римана и субатомным миром. Однажды в апреле 1972 года в Принстоне двое математиков из Института перспективных исследований, Хью Монтгомери и Атле Сельберг, обсуждали недавнее открытие Монтгомери, связанное с интервалами между нетривиальными нулями на критической прямой. Позже, в институтской столовой, Монтгомери познакомили с Фрименом Дайсоном, профессором Школы естественных наук того же института. Стоило Монтгомери затронуть тему своей работы, как Дайсон тут же осознал, что упомянутые расчеты в точности повторяют те, которые ему самому пришлось проводить в 1960-х годах, когда он изучал так называемую теорию случайных матриц. Эта теория используется, чтобы рассчитывать энергетические уровни частиц внутри тяжелых атомных ядер. Дайсон вспоминал удивление, которое он испытал, обнаружив, что при изучении распределения простых чисел всплывают те же самые уравнения:

Нам часто кажется, что некоторые вещи в математике, такие как гипотеза Римана, совершенно оторваны от жизни и не представляют никакого интереса – этакая интеллектуальная эквилибристика. И тем не менее вот вам живой пример (и их не так уж мало) прямой связи между чистой, казалось бы, математикой, и фундаментальными основами физической вселенной.

Больше ста пятидесяти лет прошло с тех пор, как Риман представил миру свою гипотезу. Отсутствие ее доказательства стало зияющей дырой в самом сердце математики. Возможно, решение этой задачи требует идей настолько передовых и радикальных, что они пока лежат за пределами нашего понимания. Если это так, то сами попытки доказать ее могут привести к разработке новых эффективных математических методик. Если доказательство все-таки отыщется, его значение для математической науки будет трудно переоценить – из-за той основополагающей роли, которую простые числа играют в общей системе чисел и из-за их связи со множеством других задач в этой области. Сотни теорем либо устоят, либо рухнут, признанные ложными, в зависимости от того, будет гипотеза Римана доказана или опровергнута. В случае ее доказательства возникнет масса других вопросов, в том числе и “Почему простые числа балансируют на такой зыбкой грани между случайностью и порядком?”. В случае опровержения все эти теоремы падут, а математика будет подвергнута тяжелейшим испытаниям, которые подорвут самые ее основы.

Никто не рассчитывает, что гипотезу Римана докажут со дня на день. Но в математике случается порой, что доказательства появляются неожиданно, без всякого предупреждения. Именно так произошло, когда Эндрю Уайлс представил блестящее доказательство Великой теоремы Ферма[33]. То же позже произошло и с открытием, относящимся к гипотезе о числах-близнецах – представлении (которое многие считали верным), что существует бесконечное множество пар таких чисел. В 1849 году французский математик Альфонс де Полиньяк пошел еще дальше и предположил, что существует бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на любое конечное число, не только на 2. Долгое время никому не удавалось добиться особых успехов в доказательстве этой гипотезы, пока в 2013 году неизвестный в широких математических кругах преподаватель Университета Нью-Гэмпшира по имени Итан Чжан совершенно неожиданно не опубликовал статью, взбудоражившую научный мир. Чжану удалось доказать, что существует число N, меньшее 70 миллионов, такое, что есть бесконечно много пар простых чисел, разность которых не более N. Это означает, что, как бы далеко мы ни забрались в бескрайний мир больших, огромных и гигантских простых чисел, как бы ни редели постепенно их ряды, мы всегда сумеем найти пары простых чисел, отличающихся друг от друга не больше, чем на 70 миллионов. Есть все основания считать, что этот промежуток можно существенно сократить[34]. И мы вправе надеяться, что в скором времени в теории простых чисел нас ждут знаменательные открытия.