Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - Хаим Шапира

Однако эмоциональное расстройство не оставляло Кантора. В 1899 г. его положили в больницу. В том же году внезапно умер его младший сын, депрессия Кантора стала хронической, и у него почти полностью исчез интерес к математике и бесконечности. В 1903 г. он снова был госпитализирован.

Год спустя произошло событие, которое, как считает биограф Кантора, профессор истории Джозеф У. Даубен, настолько потрясло Кантора, что заставило его усомниться в существовании Бога. Здесь следует отметить, что Кантор верил: теория бесконечности дарована ему Богом, а его задача – передать ее простым смертным. Ниже кратко описано то, что с ним случилось{25}.

В конце 90-х гг. XIX в. Георг Кантор и немецкий математик Феликс Клейн взялись за организацию Международного конгресса математиков (International Congress of Mathematicians, ICM). Клейн даже сочинил лозунг в духе Карла Маркса: «Математики всех стран, соединяйтесь!» Эти конгрессы и сейчас остаются важнейшими математическими событиями мирового масштаба: на церемонии их открытия происходит награждение престижными математическими премиями – медалью Филдса и премией Гаусса.

Первый конгресс состоялся в 1897 г. в Цюрихе. Второй прошел в 1900 г. в Париже; он известен тем, что именно на нем Давид Гильберт представил 23 открытые проблемы (первая проблема в этом списке касалась континуум-гипотезы, которую Кантор сформулировал еще в 1878 г.; мы вскоре поговорим о ней).

Но мы говорим о третьем конгрессе, который состоялся в 1904 г. в Гейдельберге. Кантор сидел в зале вместе со своими дочерьми. На сцену вышел венгерский математик Дьюла Кёниг, который заявил, что в теории Кантора содержатся фундаментальные ошибки. Кантора глубоко потрясло то унижение, которому он подвергся на глазах у коллег и собственных дочерей. На самом деле Кёниг пренебрег важнейшим правилом математики – точностью; уже на следующий день математик Эрнст Цермело{26}, один из отцов – основателей теории множеств, доказал, что Кёниг был неправ и нес вздор. Но это ничуть не облегчило эмоционального состояния Кантора.

В 1913 г. Кантор оставил работу в университете; во время Первой мировой войны он жил в ужасающей бедности. Умер он в 1918 г. в санатории в Галле.

В начале XX в. еще существовали острые разногласия относительно значения теории Кантора и ее справедливости. Тем не менее в 1904 г. Кантор был награжден медалью Сильвестра, высшей наградой для математиков, которую присуждает Лондонское королевское общество. Она названа так в честь английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра. По иронии судьбы предыдущим лауреатом этой награды был непримиримый соперник Кантора Анри Пуанкаре[40].

В число наиболее пылких поклонников Кантора входили Бертран Рассел (1872–1970){27} и Давид Гильберт, который назвал теорию множеств Кантора «величайшим произведением математического гения и человеческой мысли».

Очевидно, даже величайшие философы иногда несут чушь.

Сегодня значение теории множеств Кантора очевидно всем тем, кто имеет дело с высшей математикой. Современные варианты теории множеств, развившиеся в результате его первопроходческих исследований, служат теперь основой значительного числа математических теорий, разработанных в XX в.

Пора и нам познакомиться с теорией множеств Георга Фердинанда Людвига Филиппа Кантора.

В этом и следующих разделах мы попытаемся понять центральные идеи канторовой теории множеств. Начнем с самого фундаментального понятия – множества. Что такое «множество»?

Вот интуитивное определение, которое служило математикам на самой заре эпохи теории множеств:

Это определение кажется слишком общим. В нем даже нет требования, чтобы у объектов, составляющих множество, было нечто общее. Поэтому неудивительно, что со временем это определение породило немало проблем.

Как можно определить множество? Один из способов сводится к перечислению всех входящих в него объектов. Например, А = {Густав Малер, Густав Климт, Гюстав Эйфель, Густав Холст, Густаво Дудамель, Гюстав Доре, Густаво Бокколи, Гюстав Курбе, ураган «Густав», Густав V Шведский}. В этом множестве ровно десять элементов, и у всех этих элементов есть одно общее свойство – наличие слова «Густав» в той или иной форме.

Но общих черт может и не быть. Вот другой пример совершенно добропорядочного множества: B = {1729, a, 4, {4}, Пушкин, Пушкаш, $, множество}. Это попросту множество из восьми, по-видимому, случайных объектов, перечисленных выше.

Важно иметь возможность сказать, является или не является тот или иной объект элементом определенного множества. Шведский математик Магнус Густав Миттаг-Леффлер не входит в множество А, хотя в его имени и есть слово «Густав», потому что он не определен как элемент этого множества. А вот знак доллара входит в множество В, потому что он включен в список элементов этого множества.