Совершенная строгость. Григорий Перельман. Гений и задача тысячелетия - Маша Гессен

Лучший пример многообразия — поверхность нашей планеты, запечатленная на нескольких картах, каждая из которых изображает небольшой фрагмент поверхности. Вообразите, например, карту Манхэттена: это несомненно евклидово пространство. Если карты сложить в атлас, то параллельные прямые на них по-прежнему не будут пересекаться, а сумма углов построенных треугольников не будет превышать 180°. Но если бы мы захотели построить из набора этих карт модель Земли, то сначала получили бы многогранный объект, напоминающий дискотечный зеркальный шар. Потом мы сгладили бы углы и в результате получили глобус, отражающий сложную кривизну планеты. Если мы продолжим на глобусе линии Первой и Второй авеню, то они пересекутся — в отличие от евклидова пространства. Эти понятия — карты, атласы, многообразия — являются основой топологии.

Одно многообразие отличается от другого тем, что имеет отверстие (или более чем одно отверстие). Для тополога шар, шкатулка, булка и пузырь суть одно и то же, а бублик — нет. Если воображаемую резиновую ленту (не менее важный для топологического воображения инструмент, чем атлас) надеть на воображаемый объект, она будет сжиматься.

Если обернуть очень тугую ленту вокруг шара, она соскользнет, причем вне зависимости от того, на какую часть шара она была надета. С бубликом все иначе: будучи продетой сквозь отверстие, резиновая лента, какой бы тугой она ни была, не соскользнет. Резиновая лента соскользнет с шара, шкатулки, булки или пузыря без отверстий, и это означает, что они схожи, или, говоря языком топологии, диффеоморфны друг другу (это означает, что эти объекты можно трансформировать один в другой).

Это подводит нас к вопросу, в чем заключается гипотеза Пуанкаре. Чуть больше ста лет назад Пуанкаре задал невинный вопрос: если трехмерное многообразие гладкое и односвязное, то диффеоморфно ли оно трехмерной сфере? Гладкое многообразие — это нескрученное многообразие (в самом деле, скомканные листы осложнили бы работу с картами). Односвязность предполагает отсутствие в объекте отверстий. Мы знаем, что такое диффеоморфность. Мы также знаем, что значит трехмерное. Итак, трехмерное многообразие — это поверхность четырехмерного объекта.

Теперь разберем, что такое сфера. Это множество точек, равноудаленных от данной фиксированной точки, называемой центром. Одномерная сфера, знакомая нам по школьному курсу геометрии, представляет собой эту совокупность точек, расположенных в двухмерном пространстве, то есть на плоскости. Двухмерная сфера — поверхность шара — это совокупность точек в трехмерном пространстве.

Сферы особенно интересны топологам оттого, что относятся к гиперповерхностям, то есть объектам, которые обладают столькими размерностями, сколько возможно в данном пространстве (одно измерение в двухмерном пространстве, два измерения — в трехмерном и так далее). Трехмерная сфера, свойства которой так занимали Анри Пуанкаре, — это поверхность четырехмерного шара. Мы не в состоянии вообразить этот объект — и тем не менее, возможно, живем в нем.

Топологи часто подходят к задачам, пробуя решить их для разных размерностей. Эквивалент гипотезы Пуанкаре для двух измерений — это азы топологии (вы, разумеется, помните, что поверхности шара, шкатулки, булки и пузыря диффеоморфны друг другу). Но в случае трех измерений, как раз и описываемом гипотезой Пуанкаре, это становится затруднительно. Математики сражались с гипотезой Пуанкаре для трех измерений большую часть XX века, но первые успехи принесла работа над более высокими размерностями.

В начале 1960-х несколько математиков (сколько именно и при каких обстоятельствах — вопрос до сих пор открытый) доказали гипотезу Пуанкаре для размерности $ и более высоких размерностей. Один из них — американец Джон Столлингс. Он опубликовал доказательство гипотезы для размерности 7 и выше в 1960-м — всего год спустя после получения кандидатской степени в Принстоне. Вполне возможно, что другой американец, Стивен Смейл, закончил работу над доказательством раньше Столлингса. Однако он опубликовал результаты (из них следовала справедливость гипотезы Пуанкаре для размерности $ и выше) несколькими месяцами позднее. Следом английский математик Кристофер Зиман применил доказательство Столлингса к размерностям $ и 6. Американец Эндрю Уоллес опубликовал в 1961 году доказательство, по сути аналогичное доказательству Смейла. Это, однако, не было простым совпадением, поскольку Уоллес был знаком с препринтами Смейла. И наконец, японец Хироси Ямасуге опубликовал в 1961 году собственное доказательство для размерности 5 и выше.

Таким образом, гипотеза Пуанкаре в течение более полувека после того, как она была сформулирована, начала потихоньку поддаваться. Названные мной математики, как и их многочисленные безымянные коллеги, не преуспевшие в доказывании гипотезы, рассчитывали разобраться с тремя измерениями, то есть собственно с задачей Анри Пуанкаре. И хотя их будут помнить за выдающийся вклад в победу над гипотезой, по меньшей мере один ученый, кажется, считает свою неудачу не менее примечательной, чем чужой успех.

Джон Столлингс, ныне почетный профессор в Беркли, перечисляет всего несколько названий своих статей на своем вебсайте (первая датирована 1966 годом и называется "Как не доказать гипотезу Пуанкаре"). "Я совершил грех, неверно доказав гипотезу Пуанкаре, — пишет Столлингс. — Теперь, в надежде предостеречь других от таких ошибок, я расскажу о моем ошибочном доказательстве. Кто знает: а вдруг небольшое изменение или новая интерпретация выправят его!" Эта надежда на чудо, осознание бесплодности своих попыток, соединенное с навязчивым нежеланием оставить их, ярко характеризует почти столетнюю историю доказательства гипотезы Пуанкаре.

Прошло еще двадцать лет, прежде чем задача снова чуть- чуть поддалась. В 1982 году молодой американский математик Майкл Фридман (ему был тогда 31 год) опубликовал доказательство гипотезы Пуанкаре для размерности 4. За это достижение Фридман получил медаль Филдса. Однако справедливость гипотезы для размерности 3 оставалась под сомнением: ни один из методов, применимых для более высоких размерностей, не сработал. Нужен был революционно новый путь — такой, какой и сам Анри Пуанкаре не смог себе представить. Одна из сложностей, которые вызывает четырехмерное пространство, заключается в том, что, в отличие от большего числа размерностей, это не вполне абстракция. Мы способны жить в трехмерном пространстве, у которого четыре измерения. И пусть большинство из нас не в состоянии это себе представить.

Говорят, правда, что один из ныне живущих людей, американский геометр Уильям Терстон, способен вообразить четыре измерения, а его геометрическая интуиция несравнима ни с чьей. "Когда вы смотрите на него или говорите с ним, часто бывает так — он смотрит в пространство, и вы понимаете — он видит в этот момент картинки, — рассказал мне Джон Морган, профессор Колумбийского университета, друг Терстона и соавтор одной из книг о доказательстве Перельманом гипотезы Пуанкаре. — Такого глубокого интуитивного проникновения в геометрию я не встречал ни у кого. Есть ли другой такой математик, как Билл Терстон? Как человек может обладать такой способностью к постижению геометрии? У меня самого есть приличные математические способности, но я и близко не подошел к умозаключениям, какие делает он".