Математика для любознательных (сборник) - Яков Перельман

Вы не можете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных, - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого, о которой мы раньше упоминали, необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - надо сознаться, чуждых для современного слуха - стихах:

Аще кто не твердит

таблицы и гордит,

Не может познати

числом что множати

И во всей науки,

несвобод от муки,

Колико не учит

туне ся удручит

И в пользу не будет

аще ю забудет.

Автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.

Вот пример:

32 x 13

16 x 26

8 x 52

4 x 104

2 x 208

1 x 416

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:

32 x 13 = 1 x 416.

Задача № 8

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечетное?

Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо - гласит правило, - в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца; сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Приведем пример (звездочка указывает, что данную строку надо зачеркнуть):

19 x 17

9 x 34

4 x 68*

2 x 136*

1 x 272.

Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат: 17 + 34 + 272 = 323.

На чем основан этот прием?

Решение

Обоснованность приема станет ясна, если принять во внимание, что

19 x 17 = (18 + 1) x 17 = 18 x 17 + 17,

9 x 34 = (8 + 1) x 34 = 8 x 34 + 34, и т. п.

Ясно, что числа 17, 34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.

Весьма вероятно, что сейчас описанный способ дошел до нас из глубочайшей древности и из отдаленной страны - из Египта. Мы мало знаем, как производили действия обитатели древней Страны Пирамид. Но сохранился любопытный документ - папирус, на котором записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных школ древнего Египта; это так называемый «папирус Ринда», относящийся ко времени между 200 и 1700 гг. до нашей эры[56] и представляющий собою копию еще более древней рукописи, переписанную неким Аамесом. Писец[57] Аамес, найдя «ученическую тетрадку» этой отдаленнейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера, - вместе с их ошибками и исправлениями учителя, - и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде:

«Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей… всех тайн, сокрытых в вещах.

Составлено при царе Верхнего и Нижнего Египта Ра-а-усе, дающем жизнь, по образцу древних сочинений времен царя Ра-ен-мата писцом Аамесом».

В этом интересном документе, насчитывающем за собою около 40 веков и свидетельствующем о еще более глубокой древности, мы находим четыре примера умножения, выполненные по способу, живо напоминающему наш русский народный способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + мы отметили числа, подлежащие сложению):

Вы видите из этих примеров, что еще за тысячелетия до нас египтяне пользовались приемом умножения, довольно сходным с нашим крестьянским, и что неведомыми путями он как бы перекочевал из древней Страны Пирамид в современную русскую деревню. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 x 17, он произвел бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17:

и затем сложил бы те числа, которые отмечены здесь знаком +, т. е. 17 + 34 + 272. Он получил бы, конечно, вполне правильный результат: 17 + (2 x 17) + (16 x 17) = 19 x 17. Легко видеть, что подобный прием по существу весьма близок к нашему «крестьянскому» (замена умножения рядом последовательных удвоений).

Трудно сказать, у одних ли наших крестьян сохранился в настоящее время такой древний способ умножения; английские авторы называют его именно «русским крестьянским способом»; в Германии простой народ кое-где хотя и пользуется им, но также называет его «русским».

Чрезвычайно интересно было бы получить от читателей сведения о том, применяется ли в их местности этот древний способ умножения, имеющий за собой такое долгое и оригинальное прошлое[58].