Математика для гиков - Рафаель Роузен

На самом базовом уровне математика изучает числа, и некоторые из этих чисел просто немыслимы. Например, каков самый короткий промежуток времени, который человек может измерить?

Недавно ученые из Института нелинейной оптики и короткоимпульсной спектроскопии Макса Борна в Германии нашли способ измерять события с интервалом в 12 аттосекунд. Насколько коротка аттосекунда? Одна из них равна 1/1,000,000,000,000,000,000 секунды. Сколько это? За одну аттосекунду свет может пройти длину трех атомов водорода. Чтобы понять этот неимоверно короткий промежуток времени, проведем аналогию: соотношение аттосекунды и секунды – это как соотношение секунды и 32 миллиардов лет (что почти в три раза превышает возраст Вселенной).

Префикс «атто-» значит «18» на датском и стал частью порядка величины метрической системы. Метрическая система имеет широкий спектр префиксов. Вот текущий список префиксов:

Иотта – 1024, или 1 септильон

Зетта – 1021, или 1 секстиллион

Экса – 1018, или 1 квинтильон

Пета – 1015, или 1 квадриллион

Тера – 1012, или 1 триллион

Гига – 109, или 1 миллиард

Мега – 106, или 1 миллион

Кило – 103, или 1000

Милли – 10–3, или 1 тысячная

Микро – 10–6, или 1 миллионная

Нано – 10–9, или 1 миллиардная

Пико – 10–12, или 1 триллионная

Фемто – 10–15, или 1 квадриллионная

Атто – 10–18, или 1 квинтильонная

Зепто – 10–21, или 1 секстиллионная

Иокто – 10–24, или 1 септильонная

Флэш

Флэш – персонаж комиксов, который может передвигаться со скоростью света, он может воспринимать события, которые длятся меньше, чем аттосекунду, за это время вы, конечно, даже моргнуть не успеете.

Что общего у «Тайной вечери» да Винчи и «Сотворении Адама» Микеланджело? Они включают в себя то, что называют золотым сечением, соотношением чисел, которое можно найти как в природе, так и в человеческой деятельности.

Если вы помните из уроков математики, соотношение – это способ сравнения двух чисел или измерений. Например, предположим, что у вас есть четырехдверный седан. В нем будет 4 сиденья и, скорее всего, 4 колеса. Следовательно, соотношение колес и дверей будет составлять 4:4. (Мы можем уменьшить это соотношение как 1:1.) Или предположим, что вы любите животных и у вас 2 собаки и 5 кошек. Соотношение собак и кошек в вашем доме будет составлять 2:5.

Золотое сечение похоже на такого рода соотношения, только вместо 1:1 или 2:5 золотое сечение составляет 1:1,618. (Второе число на самом деле уходит в бесконечность без повторов, я просто его укоротил для удобства. Вообще оно выглядит как-то так: 1,61803398874989…)

Золотое сечение можно также найти в фигуре под названием «золотой прямоугольник». Соотношение ширины и длины этого прямоугольника равно 1:1.618 (продлен до бесконечности). Кроме того, если вы нарисуете внутри прямоугольника квадрат, то оставшийся прямоугольник имеет те же пропорции, что и изначальный прямоугольник! Другими словами, соотношение меньшей ширины и меньшей длины (b: a) равно соотношению большей ширины и большей длины (a: a + b).

Архитекторы и художники использовали золотое сечение в своих работах в течение тысячелетий, с тех пор, как человечество решило, что эта пропорция особенно приятна для глаза. Вот несколько примеров:

• Воображаемый прямоугольник, начерченный вокруг передней части Парфенона в Афинах, имеет эти пропорции.

• Великая пирамида в Гизе, одно из оригинальных семи чудес света, также включает в себя золотое сечение. Соотношение длины одной из сторон пирамиды – наклонной – и половины длины основания равно 1,61804.

• Если проанализировать «Тайную вечерю» да Винчи и «Сотворение Адама» Микеланджело на потолке Сикстинской капеллы, вы заметите, что обе композиции основываются на золотом сечении.

В любом музее будет полно примеров 1:1,618, как и в любом городе. Эти цифры вас окружают.

Золотое сечение: правда или выдумка?

Многие верят, что люди использовали золотое сечение в искусстве и архитектуре на протяжении тысячелетий. С другой стороны, некоторые математики считают, что нет доказательств таким утверждениям и заявления, что в создании Великих пирамид, Парфенона или даже в работах Леонардо да Винчи использовано золотое сечение – всего лишь миф.

Помимо появления в мире искусства, золотое сечение еще можно найти повсюду в природе. На самом деле золотое сечение является частью нас самих. Оно встроено в каждую молекулу ДНК в каждой клетке нашего организма. (ДНК, или дезоксирибонуклеиновая кислота, кодирует информацию для создания белков, что, в свою очередь, помогает создавать структуру органов тела и тканей и регулировать их функции. Гормоны и ферменты являются белками, как и актин, который помогает мышцам сокращаться. Актин также является частью внешнего скелета клетки, который придает клетке форму.) Структура молекулы ДНК была расшифрована Джеймсом Уотсоном и Фрэнсисом Криком в 1953 году, которые и показали двойную спираль. Каждый полный поворот спирали состоит из 34 ангстрем в длину и 21 ангстрема в ширину – ангстрем составляет 100-миллионную долю сантиметра – и соотношение этих двух чисел равно 1:1,6190, что очень близко к золотому сечению 1:1,618.

Эти числа, 34 и 21, особенные еще по одной причине: они появляются в последовательности Фибоначчи, ряде чисел, который был открыт Леонардо Фибоначчи в XIII веке (см. главу 4.5). Каждое число в последовательности получается в результате сложения двух предыдущих чисел. И когда вы сравниваете два рядом стоящих числа в последовательности, соотношение между ними примерно равно золотому сечению. Кроме того, чем выше числа в последовательности, тем больше это значение будет приближено к золотому сечению. Таким образом, соотношение 5 и 8, стоящих почти в самом начале, равно 1:1,6, а соотношение 377 и 610 равно 1:1,61803714. Этот результат соответствует золотому сечению вплоть до пятой цифры после запятой.