Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Гораздо дольше, вероятно в миллиарды раз дольше, чем будет светить Солнце, могла бы длиться игра на шахматной доске, бесконечно простирающейся во всех направлениях. В “бесконечных шахматах” те же правила и столько же фигур, что и в обычных, но поле для игры не имеет границ. Ходы на такой доске возможны весьма эффектные: представьте себе, как с расстояния в триллион клеток мчится на всех парусах черная ладья, а в ответ пронесшийся через межгалактическое пространство белый слон берет пешку. Нам, ограниченным своим крошечным мирком, такая игра покажется чересчур масштабной и несколько затянутой. И все же благодаря математике мы имеем возможность если не принять в ней участие, то как минимум что-то о ней узнать. А самое главное, мы можем абсолютно точно утверждать: что в обычных шахматах, что в бесконечных существует стратегия, гарантирующая выигрыш избравшему ее игроку. Что это за стратегия? Пока у нас в распоряжении не будет компьютера с неограниченным быстродействием и бесконечным объемом памяти, этого нам не узнать. Но само сознание того, что любую разновидность шахмат, да и любую другую игру с совершенной информацией – хоть конечную, хоть бесконечную – можно (пусть и теоретически) просчитать, приносит хоть какое-то удовлетворение.

В 1960-х годах, когда работа над искусственным интеллектом только начиналась, математики и специалисты по вычислительным системам, такие как Клод Шеннон, использовали шахматы для испытания методик, способных обучить компьютеры мыслить как человек. Сложные стратегические игры и сегодня служат этой цели. Сами по себе они не имеют особой ценности (если только не являются источником дохода). Но подходы, используемые при проектировании машин для игр, при их обучении и самообучении, можно перенести в другие области знания, действительно имеющие большое значение. Что еще важнее, попытки просчитать шахматы и аналогичные сложные игры помогают пролить свет на границы возможностей человеческого познания.

Слово “парадокс” восходит к греческим словам para (“против”, “вопреки”) и doxa (“мнение”, “представление”), то есть буквально оно означает нечто, что противоречит интуиции или здравому смыслу. В обиходной речи мы часто называем парадоксальным то, во что трудно поверить. Например, в третьей главе мы говорили, что если в одной комнате собрать 23 человека, то вероятность, что у двух из них совпадут дни рождения, больше 50 %. Это утверждение часто называют “парадоксом дней рождения”, хотя это легко доказуемый статистический факт, вызывающий удивление лишь потому, что противоречит нашим ожиданиям. Математики и логики употребляют слово “парадокс” в более узком значении: для них это утверждение или ситуация, содержащие внутреннее противоречие. Один из таких парадоксов, как мы увидим, привел к важному открытию в фундаментальном разделе математики. Другие, имеющие отношение к природе внутреннего “я”, к свободе воли, ко времени, породили плодотворные философские и научные дискуссии.

Французский богослов и философ XIV века Жан Буридан сыграл важную роль в распространении в Европе идей коперниканской революции – о том, что планеты обращаются вокруг Солнца. Но больше его имя известно благодаря ассоциации со средневековым логическим парадоксом. Буридан представил себе осла, стоящего ровно посередине между двумя копнами сена, одинаковыми во всех отношениях – по размеру, качеству и внешнему виду. Осел голоден, но помимо этого обладает рациональным мышлением и ослиным упрямством, а потому никак не может решить, какую копну предпочесть. Раздираемый сомнениями и не имея рационального основания для принятия решения, осел в конце концов умирает от голода. Будь копна всего одна, он выжил бы, а с двумя одинаковыми – гибнет. Все, что от него требовалось, – чуточка благоразумия. И где здесь логика?

Буриданов осел оказался в той же ситуации, что и идеально круглый шарик, лежащий на вершине крутого холма. Пока на него не действуют никакие неуравновешенные силы, ничто не заставляет его двигаться. Однако его состояние неустойчиво: малейший толчок – и он покатится с вершины под уклон. А без толчка так и будет лежать там вечно. Как и во многих других мысленных экспериментах, в парадоксе с ослом делается целый ряд допущений, на практике нереализуемых. Например, предполагается полная симметрия: какую бы копну ни выбрало животное, последовательность шагов и состояний будет одинаковая. Но в реальности такое невозможно. Кроме того, ослу просто может быть привычнее выбирать левое или же, наоборот, правое направление или из-за игры света одна копна вдруг покажется ему аппетитнее другой. Любой из десятков различных факторов может оказаться решающим и сдвинуть равновесие в сторону той или иной копны. А вот пример из цифровой электроники: логический вентиль может “зависнуть” в состоянии между нулем и единицей (те же копны сена), пока электронный шум в цепи не переключит его в одно из стабильных положений. Парадокс с буридановым ослом часто используется при обсуждении свободы воли: утверждается, что никакое существо, обладающее такой свободой, каким бы рациональным оно ни было, никогда не выберет голодную смерть только потому, что у него нет оснований предпочесть один источник пищи другому.

Еще один парадокс, имеющий отношение к свободе воли, сформулировал в 1960 году Уильям Ньюком, физик-теоретик Ливерморской национальной лаборатории имени Эрнеста Лоуренса и родственник знаменитого астронома XIX века Саймона Ньюкома. В парадоксе Ньюкома некое высшее существо, способное предсказывать будущее и никогда до того не ошибавшееся, кладет 1000 долларов в коробку A и либо ничего, либо 1 000 000 долларов – в коробку Б. Оно предлагает вам выбор: (1) открыть только коробку Б или (2) открыть обе коробки. Но есть подвох: это существо поместило деньги в коробку Б только в том случае, если предсказало, что вы выберете вариант (1). В случае, если, согласно его предсказанию, вы поступите по-другому, коробка Б останется пустой. Вопрос: как вам поступить, чтобы получить максимальный выигрыш? Единого мнения по поводу правильного ответа (и даже того, корректна ли вообще формулировка задачи) не существует. Можно утверждать, что, поскольку сейчас ваш выбор никак не изменит содержимое коробок, нужно просто открыть обе и забрать то, что в них окажется. Такое решение кажется вполне разумным, пока не вспоминаешь, что существо еще никогда не ошибалось в своих предсказаниях. Иными словами, ваше субъективное состояние каким-то образом связано с содержимым коробки: выбор, который вы делаете, влияет на вероятность того, что в коробке Б окажутся деньги. В защиту обоих вариантов выбора выдвигались и эти аргументы, и множество других. Но общепринятого “правильного” ответа так и нет, несмотря на то что философы и математики совместно уже больше полувека пытаются решить эту задачу.

Ньюком сформулировал этот парадокс, пока обдумывал другой, более старый, известный под названием “парадокс неожиданной казни”. Он появился в устной форме где-то в 1940-е годы. Речь в нем идет о приговоренном к смертной казни. В субботу судья, имеющий репутацию человека, всегда держащего свое слово, сообщает узнику, что того повесят в один из семи следующих дней, но в какой именно день, он не узна́ет (и никак не сможет узнать) до тех пор, пока ему не сообщат об этом в утро казни. Вернувшись в камеру, приговоренный размышляет над услышанным и приходит к выводу, что судья ошибся. Откладывать казнь до следующей субботы нельзя – ведь тогда уже на рассвете он точно будет знать, что это его последний день. Но если казнь в субботу исключается, то она не может состояться и в пятницу, поскольку, дожив до вечера четверга, узник поймет, что его повесят на следующий день. Точно так же можно исключить и четверг, затем среду и так далее, вплоть до самого воскресенья. Но раз во все эти дни неожиданная казнь невозможна, значит, и в воскресенье палач тоже не сумеет сделать свое дело так, чтобы приговоренному это не было известно заранее. Таким образом, рассудил узник, казнить его так, как постановил судья, невозможно. Но вот наступает утро среды, и в камеру к осужденному входит палач – совершенно неожиданно! Все-таки судья оказался прав, а в безупречной, казалось бы, логике узника таился какой-то изъян. Но какой именно?