Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Проблема, однако, заключалась в том, что в то время на одной оцифрованной карте содержалось примерно 10 мегабайт данных, что делало невозможной быструю отправку таких файлов местным полицейским участкам. Не забывайте, что это происходило в середине 1990-х, когда самыми передовыми технологиями были модемы и факсы, а передача 10-мегабайтного файла занимала часы. К тому же обмениваться такими файлами, когда в качестве носителей чаще всего применялись дискеты на 1,5 мегабайта, достаточно трудно. Растущие требования по ускорению обработки ежедневно появляющихся тридцати тысяч новых карт с отпечатками и запросов о срочных проверках привели к острой необходимости модернизации системы. ФБР нуждалось в способе сжать файлы без искажений.

Вейвлеты идеально подходили для такой работы. Представляя отпечатки в виде комбинаций множества вейвлетов и оптимально регулируя соответствующие ручки с помощью анализа, математики из Лос-Аламосской национальной лаборатории помогли ФБР[173] уменьшить файлы больше чем в двадцать раз. Это была революция в криминалистике. Благодаря идеям Ферма в современной форме (в сочетании с еще большей ролью вейвлет-анализа, информатики и обработки сигналов) 10-мегабайтный файл можно было сжать всего лишь до 500 килобайт, то есть до размера, вполне пригодного для отправки по телефонным линиям. И это можно было сделать, не жертвуя достоверностью. Эксперты-дактилоскописты высказали свое одобрение. То же самое сделали и компьютеры: сжатые файлы триумфально прошли через автоматическую систему идентификации ФБР. Это были хорошие новости для анализа и плохие – для преступников.

Принцип наименьшего времени

Интересно, что бы подумал Ферма о таком использовании своих идей? Он никогда особо не интересовался прикладной математикой. Ему нравилось заниматься наукой из любви к ней. Тем не менее он внес в прикладную математику один вклад непреходящей важности: первым вывел закон природы из более глубокого закона, используя анализ в качестве логического двигателя. Точно так же как Максвелл сделает с электричеством и магнетизмом два столетия спустя, Ферма перевел гипотетический закон природы на язык анализа, запустил двигатель, ввел в него один закон и получил на выходе другой как следствие первого. Сделав это, Ферма, бессистемный ученый, положил начало стилю рассуждений, который с тех пор доминирует в теоретической науке.

История началась в 1637 году, когда группа парижских математиков заинтересовалась мнением Ферма о последнем трактате Декарта, посвященном оптике. Декарт придерживался определенной теории о том, как изгибается луч света при попадании из воздуха в воду или из воздуха в стекло (эффект, известный как преломление).

Любой, кто когда-нибудь играл с увеличительным стеклом, знает, что свет можно фокусировать, а направление луча – менять. В детстве мне нравилось поджигать листья на дорожке с помощью лупы: я поднимал и опускал ее, пока солнечные лучи не фокусировались в белое пятно большой яркости, из-за чего листья тлели и в итоге загорались. Менее зрелищным образом преломление используется в очках. Линзы в очках фокусируют лучи света так, чтобы они оказывались в нужном месте сетчатки – для исправления дефектов зрения.

Отклонение луча также объясняет иллюзию, которую вы, возможно, наблюдали у плавательного бассейна в солнечный день. Предположим, что на дне бассейна находится некий блестящий предмет, скажем ювелирное украшение.

Вы смотрите на предмет через воду, но он оказывается совсем не там, где кажется, поскольку отраженные от него солнечные лучи преломляются на обратном пути из бассейна, переходя из воды в воздух. По той же причине рыбак, охотящийся на рыбу с острогой, должен целиться ниже ее видимого положения, чтобы попасть в нее.

Такие феномены преломления подчиняются простому правилу. Когда луч света переходит из менее плотной среды (например, воздуха) в более плотную (воду или стекло), он меняет направление в сторону перпендикуляра между двумя средами. А при переходе из более плотной среды в менее плотную луч отклоняется от этого перпендикуляра, как показано на рисунке.

В 1621 году голландский ученый Виллеброрд Снелл уточнил это правило и выразил его количественно, проведя простой эксперимент. Меняя угол a входящего луча и наблюдая, как в результате меняется угол b выходящего луча, он обнаружил, что отношение sin a / sin b для конкретной пары сред всегда остается постоянным. (Здесь sin обозначает синус – ту самую тригонометрическую функцию, волнистый график которой мы рассматривали при изучении продолжительности дня.)

Однако Снелл обнаружил, что значение sin a / sin b зависит от материала двух сред. Воздух и вода давали одно постоянное соотношение, тогда как воздух и стекло – другое. Он понятия не имел, почему работает этот закон синусов. Он просто работал. Это был просто голый факт о свете.

Декарт повторно открыл закон синусов Снелла[174] и опубликовал его в своем труде 1637 года «Диоптрика», не подозревая, что как минимум три человека уже установили его раньше: Снелл в 1621 году, английский астроном Томас Хэрриот в 1602-м и персидский математик Абу Сад ал-Ала ибн Сахль еще в 984-м.

Декарт дал механическое объяснение закону синусов, в котором (ошибочно) предположил, что свет движется быстрее в более плотной среде. С точки зрения Ферма, это звучало странно и противоречило здравому смыслу. Пытаясь быть полезным и будучи наивным и простодушным человеком, тулузский провинциал изложил свои мягкие критические замечания по поводу теории Декарта и отправил их парижским математикам, которые поинтересовались его мнением.

Ферма не знал, что эти люди были заклятыми врагами Декарта и использовали провинциального ученого для своих целей. И, как мог бы предвидеть даже ребенок, когда Декарт узнал о комментариях Ферма, он решил, что на него нападают. Он никогда не слышал об этом юристе из Тулузы. Для него Ферма был малоизвестным любителем-провинциалом, человеком, от которого можно легко отмахнуться, как от назойливого комара. В течение нескольких следующих лет Декарт относился к Ферма снисходительно и заявлял, что тот случайно натолкнулся на его результаты.

Однако перенесемся на двадцать лет вперед. В 1657 году, уже после смерти Декарта, врач и философ Марен Кюро де ла Шамбр попросил Ферма вернуться к старому вопросу о преломлении. Просьба Кюро побудила Ферма внимательно рассмотреть эту задачу, используя свои знания об оптимизации.