Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт

Законы движения Ньютона говорят о том, что если y(t) – высота, на которой частица движется над поверхностью Земли, подвергаясь силе тяготения, то вторая производная d2y/dt2 пропорциональна воздействующей на нее силе g:

где m – масса. Это уравнение не определяет функцию y напрямую – оно показывает свойства ее второй производной. Чтобы найти саму y, необходимо решить дифференциальное уравнение. Дважды последовательно интегрируя, получим:

где b – исходная высота частицы, a – начальная скорость. Формула говорит нам, что график, описывающий изменение высоты y относительно времени t, представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Это наблюдение сделал еще Галилей.

Параболическая траектория снаряда

Марсоход «Спирит» (художественное воспроизведение, НАСА)

Работы Коперника, Кеплера, Галилея и других ученых Возрождения открыли нам математические закономерности, описывающие реальный мир. Одни модели со временем оказались ошибочными, и от них отказались, другие в точности отражали действительность и развивались дальше. Именно в те давние времена выражение «работает как часы» стало всё чаще применяться к нашей Вселенной. Как выяснилось, она живет по строгим, непреложным законам, несмотря на упорные возражения религиозных иерархов, особенно католической церкви.

Величайшим открытием Ньютона стало то, что законы природы проявляют себя не как закономерности некоторых величин, но как взаимоотношения между их производными. Законы природы написаны на языке исчисления, и здесь важны не значения физических переменных, а скорость, с которой они меняются. Это было величайшее прозрение, и оно породило революцию, завершившуюся появлением более-менее современного научного подхода, который навсегда изменил нашу планету.

Формулирование физических законов

Прежде всего математики сосредоточились на поиске четких формул для решения частных типов самых простых дифференциальных уравнений. И в некотором смысле это было неудачным шагом: как правило, формул для таких типов уравнений просто не существует. В итоге внимание оставалось прикованным скорее к уравнениям, которые можно решить с помощью формул, нежели к тем, которые точно описывают законы природы. Хороший пример – дифференциальное уравнение движения маятника, принимающее форму:

с соответствующей константой k, где t – время, а θ – угол отклонения маятника (при θ = 0 он принимает вертикальное положение). Для этого уравнения не существует решения в виде классических функций (многочленных, экспоненциальных, тригонометрических, логарифмических и т. д.). Но есть решение с использованием эллиптической функции, найденное век спустя. Однако если предположить, что угол сколько угодно мал, и мы видим, что маятник совершает совсем небольшие колебания, sin θ становится практически равен θ, и чем меньше угол θ, тем точнее приближение. А значит, дифференциальное уравнение можно заменить таким: