Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

эйлеровы? Нет, как существуют деревья, не меняющие цвета осенью, так существуют и многогранники, не удовлетворяющие формуле Эйлера. Мы хотели бы установить, какими точно свойствами должен обладать многогранник, чтобы для него выполнялась формула Эйлера. Минералог Иоганн Фридрих Кристиан Гессель (1796–1872), с которым мы вскоре познакомимся, называл такие многогранники эйлеровыми.

В главе 2 мы говорили, что математики работали с многогранниками много столетий, не имея надлежащего определения. Все было хорошо, пока они предполагали (почти всегда неявно) выпуклость, но стоило им заявить, что какое-то утверждение справедливо для всех многогранников, как они обычно попадали впросак. Необходимость в строгом определении многогранника была осознана в начале XIX века.

Первым, кто занялся тщательным изучением того, какие многогранники удовлетворяют формуле Эйлера, был Симон Антуан Жан Люилье (1750–1840). Быть может, Люилье самой судьбой было предначертано поработать с формулой Эйлера. Как и Эйлер, Люилье был швейцарцем, а родился он в тот год, когда Эйлер открыл свою формулу для многогранников. Но самое забавное, что слово «l'huilier» буквально переводится как «масленка» или «тот, кто смазывает», поэтому Люилье можно было бы назвать «The Oiler» — так же, как фамилия Эйлер звучит по-немецки. Как и Эйлер, Люилье отказался от церковной карьеры, соблазнившись математикой. Когда Люилье был еще юношей, один из его родственников пообещал оставить ему часть своего состояния, если он изберет духовную стезю. Но вместо того чтобы принять это щедрое предложение, Люилье решил стать математиком.

Начало математической карьеры Люилье прошло в Варшаве, где он был наставником сына князя Адама Чарторыйского. Затем он вернулся в Швейцарию, где занял должность в Женевской академии и в конечном итоге дорос до ректора. За свою долгую жизнь он внес вклад в геометрию, алгебру и теорию вероятностей и за свои работы получил международное признание. Он также написал популярные учебники, которые много лет использовались в Польше. О его личности один биограф писал: «если поляки находили Люилье откровенным пуританином, то сограждане в Женеве укоряли его за недостаточный аскетизм и причуды, хотя последнее качество никогда не шло дальше изложения геометрических теорем в стихах и сочинения баллад о числе три и о квадратном корне из минус единицы»126.

В 1813 году Люилье внес важный вклад в теорию многогранников и в понимание формулы Эйлера. В своей работе он представил три класса многогранников, не удовлетворяющих этой формуле, и назвал их «исключениями».

Статья Люилье была опубликована в новом частном журнале «Annales de mathematiques pures et appliquees». Этот журнал, первый посвященный исключительно математике, основал и редактировал артиллерийский офицер и опытный геометр Жозеф Диас Жергонн (1771–1859). Как писал математик Жан-Клод Понт, Жергонн «имел отвратительную привычку публиковать только те части предложенных ему работ, которые его интересовали»127. Мало того что Жергонн подверг работу Люилье существенному редактированию, так он еще неоднократно вставлял собственные комментарии в текст его статьи — даже утверждал, что знал о двух из трех исключений, до того как прочел статью Люилье!

Первый класс исключений, открытых Люилье, состоял из многогранников с кольцевыми гранями. Например, на рис. 15.1 углубление в середине одной грани куба порождает грань в форме квадратной втулки. У этого многогранника 10 граней (5 квадратных, 4 треугольных и одна кольцевая), 20 ребер и 13 вершин. В данном случае формула Эйлера не выполняется, потому что 13–20 + 10 = 3. Люилье не называл такие грани кольцевыми, а говорил, что грань содержит «внутренний многоугольник».

Рис. 15.1. Исключения Люилье: кольцевые грани, туннели и полости

Второй класс исключений Люилье — многогранники с одним или несколькими «туннелями», просверленными сквозь центр. На рис. 15.1 мы видим многогранник в виде бублика. В нем 16 вершин, 32 ребра и 16 граней, т. е. 16–32 + 16 = 0. Идею третьего класса исключений Люилье навеяла коллекция минералов, которую он видел у своего знакомого. В одном из образцов Люилье заметил цветной кристалл внутри прозрачного. (Позднее, в 1832 году Гесселя также вдохновил такой кристалл; в его случае то был кубический кристалл галенита (сульфида свинца) с кристаллом хлористого кальция внутри.) Люилье представил себе многогранник с многогранной же внутренней полостью. Разумеется, такое исключение имеет смысл, только если считать многогранник сплошным, а не полым телом. Куб с кубической полостью показан на рис. 15.1. У этого многогранника 16 вершин, 24 ребра и 12 граней, так что 16–24 + 12 = 4.

Люилье (и Жергонн) полагал, что этим исчерпываются все возможные исключения из формулы Эйлера. Люилье писал: «Легко убедиться, что теорема Эйлера верна в общем случае для всех многогранников, выпуклых и невыпуклых, за исключением случаев, которые будут описаны ниже»128.

Затем, вместо того чтобы игнорировать исключения, Люилье придумал модификацию формулы Эйлера, учитывающую особенности исключительных многогранников. Он утверждал, что многогранник с T туннелями, C полостями и P внутренними многогранниками удовлетворяет формуле

V — E + F = 2 — 2T + P + 2C.

Нетрудно проверить, что эта формула действительно верна для всех трех многогранников на рис. 15.1.

Но, как оказалось, три случая, найденных Люилье, не исчерпывают всех исключений из формулы Эйлера, и его изобретательная формула неприменима ко всем «экзотическим» многогранникам. Например, ни один из четырех многогранников на рис. 15.2 не попадает ни в одну из категорий Люилье и не понятно, как применить его формулу. У первого многогранника имеется грань с двумя внутренними многоугольниками с общей вершиной; во втором имеется туннель с разветвлением; в третьем — полость в форме тора, а четвертый сам имеет форму тора, но наличие туннеля не очевидно.

Рис. 15.2. Многогранники сложной формы

И мы снова возвращаемся к проблеме определения многогранника — невозможно классифицировать эйлеровы многогранники, не имея точного определения, что такое многогранник. Тем не менее классификация исключений Люилье принесла чрезвычайную пользу, а его формула в несколько модифицированном виде в конечном итоге оказалась правильной. На самом деле, согласно Лакатосу, этот модифицированный вариант формулы Эйлера или похожий на него переоткрывался десяток раз за восемьдесят лет, последовавших за открытием Люилье.

Иоганн Гессель сначала получил медицинское образование, но изменил род занятий, после того как известный минералог К. К. фон Леонард убедил его заняться минералогией. В итоге Гессель стал профессором минералогии и технологий горных работ в немецком Марбурге. Он внес вклад в разные области науки, но больше всего известен математическими исследованиями классов симметрии минералов.

В статье 1832 года Гессель описал пять исключений из формулы для многогранников129. Работая над статьей и предлагая ее для публикации, Гессель не знал