Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

В случае нулевой гипотезы существует только один шанс из двухсот получить настолько хороший результат. Это звучит гораздо более убедительно. Если я заявлю, что могу силой мысли заставить солнце взойти, власть моих способностей не должна производить на вас впечатление. Однако, если я скажу, что могу сделать так, чтобы солнце не взошло, и оно действительно не взойдет, тем самым я продемонстрирую весьма маловероятный результат с точки зрения нулевой гипотезы, и вам лучше обратить на это внимание.

Таким образом, в формальном виде процедуру опровержения нулевой гипотезы можно представить так.

1. Провести эксперимент.

2. Выдвинуть предположение, что нулевая гипотеза истинна, и обозначить символом p вероятность (согласно данной гипотезе) получения результатов со столь же крайними значениями, что были получены в результате наблюдений.

3. Число p обозначается термином «p-значение». Если это очень маленькое значение, радуйтесь – вы можете заявить, что ваши результаты статистически значимы. Если это число имеет большое значение, признайте тот факт, что нулевая гипотеза не была опровергнута.

Но насколько маленьким должно быть это «очень маленькое» значение? Нет принципиального способа провести четкое разграничение между тем, что является значимым, а что нет, но по традиции, которая началась еще со времен Фишера и которой принято придерживаться в настоящее время, в качестве пороговой величины используется значение p = 0,05, или 1/20.

Проверка значимости нулевой гипотезы получила широкое распространение, поскольку она соответствует нашим интуитивным представлениям о неопределенности. Почему библейские коды кажутся нам убедительными, по крайней мере на первый взгляд? Потому что коды, подобные тем, которые обнаружил Витцум, весьма маловероятны с точки зрения нулевой гипотезы, гласившей, что в Торе не заложено знание будущего. Значение числа p (вероятность обнаружения такого большого количества эквидистантных последовательностей букв, столь точно отображающих демографические данные о выдающихся раввинах) весьма близко к нулю.

Различные варианты этой аргументации в пользу божественного творения появились задолго до формального определения Фишера. Если в качестве нулевой гипотезы принять отсутствие первичного разработчика-организатора, сумевшего собрать все сущее воедино, тогда было бы крайне маловероятным существование нашего мира, столь великолепно спланированного и идеально упорядоченного.

Первым, кто попытался поставить такую аргументацию на математическую основу, был Джон Арбетнот – королевский физик и сатирик, друживший с Александром Поупом и среди прочего занимавшийся математикой{82}. Арбетнот изучил записи о детях, родившихся в Лондоне за период с 1629 по 1710 год, и обнаружил в них удивительную закономерность: на протяжении каждого из этих восьмидесяти двух лет рождалось больше мальчиков, чем девочек. Арбетнот поставил вопрос так: какова вероятность такого совпадения, если нулевая гипотеза гласит, что Бога нет и все происходит по воле случая? Если исходить из такой гипотезы, вероятность того, что в любой год в Лондоне появится больше мальчиков, чем девочек, составляет 1/2, а p-значение (вероятность того, что мальчиков будет рождаться больше каждый год на протяжении восьмидесяти двух лет подряд) равно:

(1/2) × (1/2) × (1/2) ×… всего 82 раза … × (1/2)

или немногим меньше одного случая на 4 септильона – другими словами, почти ноль. Арбетнот опубликовал свои выводы в сочинении, названном An Argument for Divine Providence, Taken from the Constant Regularity Observed in the Births of Both Sexes («Аргумент в пользу Промысла Божьего, выведенный на основании устойчивой закономерности в рождении детей обоих полов»).

Аргументация Арбетнота получила высокую оценку авторитетных духовных лиц, но другие математики сразу обратили внимание на некоторые изъяны в его рассуждениях. Одним из основных недостатков была чрезмерная специфичность его нулевой гипотезы. Безусловно, данные Арбетнота опираются на предположение о том, что пол детей определяется произвольно: каждый ребенок имеет равные шансы появиться на свет как мальчиком, так и девочкой. Но почему эти шансы должны быть равными? Николай Бернулли предложил другую нулевую гипотезу: пол ребенка определяется случайно с вероятностью 18/35 того, что это будет мальчик, и 17/35 – что это будет девочка. Нулевая гипотеза Бернулли такая же атеистическая, как и гипотеза Арбетнота, и прекрасно согласуется с фактическими данными. Если вы подбросите монету 82 раза и она 82 раза выпадет лицевой стороной вверх, вам следует подумать: «Что-то не так с этой монетой», а не «Бог благоволит к аверсам»[102].

Аргументация Арбетнота не была широко принята, однако дух ее жив. Арбетнот – интеллектуальный отец не только искателей библейских кодов, но и ученых-креационистов, которые даже в наше время утверждают, что мир без Бога вряд ли выглядел бы так, как тот мир, в котором мы живем[103]{83}.

Однако проверка статистической значимости не ограничивается теологической апологетикой. В каком-то смысле Дарвин – грубый безбожник в понимании ученых-креационистов – в своем основном труде предложил почти такие же аргументы: