Путешествие по Карликании и Аль-Джебре - Владимир Артурович Левшин

ни одно колечко не упало.

— Работа-то чистая, но при чём здесь умножение степеней? — спросил я. — Не понимаю.

— А я понимаю, — похвасталась Таня. — При перемножении степеней показатели надо складывать:

с3 • с6 = с3+6 = с9.

Совершенно правильно, — подтвердил Дэ. — Число колец на палке обозначает показатель степени.

— Пусть, — сказал я, — а мне всё равно непонятно.

— Поглядите на поле, — предложил Дэ, — тогда уж обязательно поймёте.

Я поглядел и увидел, что два Цэ (у одного, на палке три кольца, у другого — шесть) стали рядом и между ними появился знак умножения — точка. И тут на поле выбежали ещё девять Цэ.

У них на палках было только по одному кольцу. Трое из них встали на место Цэ с тремя кольцами, а шестеро заменили Цэ с шестью кольцами. Тогда пекарь с пустой палкой отделился от них знаком равенства и стал следом за ними. А первые два пекаря отдали ему свои кольца и получилось вот что:

 На этот раз и вправду все было понятно: Цэ в третьей степени, умноженное на Цэ в шестой, — это все равно, что Цэ, умноженное само на себя девять раз, или попросту Цэ в девятой степени.

 Потом началось деление степеней. На поле выкатили двухэтажную тележку. На верхнюю площадку вскочил жонглер с тремя кольцами на палке — числитель, на нижнюю — жонглер с двумя кольцами — знаменатель. 

И вдруг Цэ стали лопать свои бублики: числитель съест один, и знаменатель — один, числитель — один, и знаменатель — один… Когда Цэ знаменатель съел все свои бублики, он исчез. На площадке осталась только его палка.

А Цэ-числитель — у него на палке ещё болтался один бублик — продолжал стоять наверху как ни в чём не бывало.

— Ясно, — сказал Олег. — Деление — действие, обратное умножению. Значит, показатели степеней надо при этом не складывать, а вычитать.

— Верно! — поддержала Таня. — Из трёх бубликов отняли два. В знаменателе очутилась палка-единица, А в числителе — Цэ с одним бубликом, то есть Цэ в первой степени.

— Первая степень не пишется, — вспомнил я. — Стало быть, просто Цэ:

с3/c2 = с3-2 = c

— Вот вам и частное от деления двух степеней, — пояснил Дэ. — Посмотрим теперь, что будет, если Цэ в квадрате разделить на Цэ в кубе.

Теперь на верхней площадке стоял Цэ-числитель с двумя бубликами, а на нижней Цэ-знаменатель с тремя. Опять они принялись уплетать, но теперь уже без бубликов оказался Цэ-числитель. Он исчез, оставив на площадке свою палку. А Цэ-знаменатель, у которого оставался один бублик, продолжал стоять на площадке.

— Видите, — сказал Дэ, — частное от деления равно единице, делённой на Цэ, или одной цэтой, как у нас говорят.

— Позвольте, — вмешался Олег, — при делении степеней показатели вычитаются. Значит, это можно изобразить так.

с2/с3 = с2-3 = с-1

— Ой! — испугалась Таня. — Получилась отрицательная степень!

— Вполне законно, — возразил Дэ. — Одна цэтая — это то же самое, что Цэ в минус первой степени.

Вон оно что! Выходит, если целое число возвести в отрицательную степень, оно превращается в дробь:

с-1 = (1/с)1 = 1/с

с-2 = (1/с)2 = 1/с2

с-3 = (1/с)3 = 1/с3

и так далее.

Слышишь, Нулик? Ты, помнится, хотел знать, отчего гирька твоего силомера не желала подниматься выше единицы? Вот тебе и ответ. Возвести пять в минус вторую степень — всё равно что возвести одну пятую в плюс вторую степень:

5-2 = (1/5)2 = 1/25

Иначе и быть не может. Ведь у отрицательных чисел всё наоборот! И чем большее число возводишь в отрицательную степень, тем меньше получается дробь. Потому-то тысяча, возведённая в минус третью степень, оказалась равной одной миллиардной:

(1000)-3 = (1/1000)3 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

А теперь слушай дальше. В числителе и знаменателе очутились Цэ с тремя бубликами.

Каждый Цэ съел свои бублики и скрылся. На площадках остались только их палки.

— Вот так фокус! — не удержался я.

— Ну, что вы! — скромно сказал Дэ. — Это просто деление двух одинаковых степеней с равными основаниями. И получается при этом единица, делённая на единицу.

— Или просто единица, — добавила Таня.

— Уж конечно! — ввернул я. — Подумаешь, открытие! Всякое число, делённое само на себя, равно единице. Двадцать, делённое на двадцать, равно единице; тридцать, делённое на тридцать, равно единице; Цэ в третьей степени, делённое на Цэ в третьей степени, равно единице. Об этом и говорить не стоит.

— Ты думаешь? — возразил Олег. — А по-моему, стоит.

— Отчего же?

— Оттого, что теперь я знаю, почему любое число в нулевой степени равно единице.

— Да ну?! Как это ты догадался?

— Очень просто:

с3: с3 = 1, но с3: с3 = с3-3 = с0.

Следовательно: с0 = 1.

Ну и голова у этого Олега! Жаль только, что он до этого не додумался раньше. Не пришлось бы мне срамиться там, у силомера. Впрочем, жалеть об этом не время. Письмо у меня и так получилось очень длинное. Но ты уж потерпи. Осталось немного.

Пекари-жонглёры убежали. А вместо них на поле вышли… Нет, нипочём тебе не догадаться кто! На поле вышли Чёрные Маски. Мы-то думали, что Чёрная Маска одна, а появилась целая армия. Во всяком случае, никак не меньше ста. И тут меня что-то кольнуло. Это проснулся в кармане талисман, о котором мы, сказать по чести, совсем забыли. Уж не хочет ли он намекнуть, что и наша Чёрная Маска тоже здесь? Но как её найдёшь? Ведь все они похожи друг на друга как две капли