Математика для любознательных (сборник) - Яков Перельман

А так как 999 = 9 x 111 = 3x3x3x37, то вы можете, опять-таки с молниеносной быстротой, писать целые колонны шестизначных чисел, кратных 37; незнакомый со свойствами числа 999, конечно, сделать этого не в состоянии. Короче говоря, вы можете устраивать перед непосвященными маленькие сеансы «мгновенного умножения и деления» не хуже иного фокусника.

Следующее на очереди у нас число 1001, - прославленное число Шехеразады. Вы, вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками.

Чем же так замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых «простых» чисел. Через ячейки Эратосфенова решета оно свободно проскользнуло бы, так как делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 - на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но в том, что число 1001 = 7x11x13, нет еще ничего волшебного. Замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды, например:

873 x 1001 = 873873;

207 x 1001 = 207207; и т. д.

И хотя этого и следовало ожидать, так как 873 x 1001 = 873 x 1000 + 873 = 873000 + 873, - все же, пользуясь указанным свойством «числа Шехеразады», можно достичь результатов совсем неожиданных, - по крайней мере, для человека неподготовленного.

Задача № 30

Целое общество гостей, непосвященных в арифметические тайны, вы можете поразить следующим фокусом. Пусть кто-нибудь напишет на бумажке, секретно от вас, трехзначное число, какое хочет, и затем пусть припишет к нему еще раз то же самое число. Получится шестизначное число, составленное из трех повторяющихся цифр. Предложите тому же товарищу, или его соседу, разделить - секретно от вас - это число на 7; при этом вы заранее предсказываете, что остатка не получится. Результат деления передается соседу, который, по вашему предложению, делит его на 11; и хотя вы не знаете делимого, вы все же смело утверждаете, что и оно разделится без остатка. Полученный результат вы направляете следующему соседу, которого просите разделить это число на 13 - деление снова выполняется без остатка, о чем вы заранее предупреждаете. Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому товарищу со словами:

- Вот число, которое вы задумали!

Так и есть: вы угадали.

Какова разгадка этого фокуса?

Решение

Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трехзначному числу его само - значит умножить его на 1001, т. е. на произведение 7x11x13. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу его само, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13; а в результате деления последовательно на эти три числа (т. е. на их произведение - 1001) оно должно, конечно, снова дать задуманное число.

После сказанного о числе 1001 для вас уже не будет неожиданностью увидеть в витринах нашей галлереи число 10101. Вы догадаетесь, какому именно свойству обязано число это такою честью. Оно, как и число 1001, дает удивительный результат при умножении, - но не трехзначных чисел, а двузначных; каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например:

73 x 10101 = 737373;

21 x 10101 = 212121.

Причина уясняется из следующей строки:

Задача № 31

Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001?

Решение

Да, можно. Здесь даже возможно обставить фокус эффектнее, разнообразнее, если иметь в виду, что 10101 есть произведение четырех простых чисел:

10101 = 3x7x13x37.

Предложив первому гостю задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьему приписать то же число еще раз. Четвертого гостя вы просите разделить получившееся шестизначное число, например, на 7; пятый гость должен разделить полученное частное на 3; шестой гость делит то, что получилось, на 37 и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, - при чем все 4 деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому гостю: это и есть задуманное им число.

При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно, вместо четырех множителей 3x7x13x37 можете взять следующие группы трех множителей: 21x13x37; 7x39x37; 3x91x37; 7x13x111.

Число это - 10101 - пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее его известно своими поразительными свойствами. А между тем о нем писалось еще двести лет тому назад в «Арифметике» Магницкого, в той главе, где приводятся примеры умножения «с некоим удивлением». Тем с большим основанием должны мы включить его в наше собрание арифметических диковинок.

Задача № 32

С этим числом вы также можете проделать фокусы вроде предыдущих, хотя, пожалуй, и не столь эффектные.

Дело в том, что оно представляет собою произведение только двух простых чисел:

10001 = 73 x 137.

Как воспользоваться этим для выполнения арифметических фокусов, читатель, надеюсь, после всего сказанного выше догадывается сам.

В соседней витрине мы видим такую диковинку арифметической кунсткамеры:

- число, состоящее из шести единиц. Благодаря знакомству с волшебными свойствами числа 1001, мы сразу соображаем, что