Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности - Ласло Мерё

С вашего разрешения я еще раз воспроизведу здесь илл. 5, чтобы ваша книга не слишком растрепалась от постоянного перелистывания взад и вперед (илл. 21). Выше мы отмечали, что радикальное различие между Тихонией и Диконией есть следствие небольшого, как кажется, математического различия между двумя распределениями. Вам, возможно, приходил в голову следующий вопрос: если нам удалось создать настолько разные миры на основе двух просто описываемых математических кривых, то почему бы не построить третью кривую, лежащую где-то между первыми двумя, чтобы создать мир, свойства которого будут промежуточными между распределениями Гаусса и Коши? Если такая мысль действительно вас посещала, значит, вы хорошо чувствуете математическое мышление. На самом деле все распределения, описывающие связи между вершинами безмасштабных сетей, оказываются где-то между Гауссом и Коши. Если Тихония характеризуется распределением Гаусса, а Дикония — распределением Коши, то масштабно-инвариантные математические объекты находятся где-то в промежутке между этими двумя случаями.

Чем меньше фактор Мандельброта безмасштабной сети, тем более распределение связей между ее вершинами приближается к распределению Гаусса. Другими словами, малые значения фактора Мандельброта соответствуют более тихим сетям. Тем не менее безмасштабная сеть никогда не бывает настолько тихой, чтобы стать предсказуемой; она всегда остается хаотичной. Тихая безмасштабная сеть описывает сравнительно тихий хаос. Верно и обратное: чем больше фактор Мандельброта сети, тем ближе распределение связей между ее вершинами оказывается к распределению Коши. Это означает, что в более диких сетях узлы крупнее, чем в более тихих.

Илл. 21. Сравнение распределений Гаусса и Коши

(График Йожефа Бенце)

Переход между распределениями Гаусса и Коши становится особенно интересным, если попытаться выяснить, имеет ли промежуточное распределение стандартное отклонение. Из того, о чем мы говорили раньше, мы помним, что у распределения Гаусса есть стандартное отклонение, а у распределения Коши его нет. Математически доказано, что у масштабно-инвариантных распределений, фактор Мандельброта которых меньше 1, есть хорошо определенное стандартное отклонение, а те, фактор Мандельброта которых больше или равен 1, его не имеют[101]. Это показывает, что весь диапазон от тихого до дикого действительно занимают безмасштабные сети. Тем не менее всякая безмасштабная сеть хаотична.

В главе 7, которая называлась «Математика непредсказуемого», я дал очень узкое определение хаоса и отметил, что существуют объекты даже более хаотичные, чем те, которые удовлетворяют нашему определению хаоса. То же можно сказать и о безмасштабных сетях. Если, например, число соединений, исходящих из каждой вершины, определяет наша снайпер Фиби, то сеть уже не будет ни безмасштабной, ни хаотической в смысле нашего определения. Получится нечто гораздо более беспорядочное. Как мы увидим в дальнейшем, в реальном мире существуют сети, не относящиеся к безмасштабным и гораздо более хаотические, чем те, которые к этому разряду относятся.

Масштабно-инвариантный мир хаотичен по самой своей природе, так что ему определенно нет места в Тихонии. Как мы видели, масштабная инвариантность бывает свойственна не только сетям, но и облакам, снежинкам, кротовым ходам, папоротнику, готической архитектуре, финансовым рынкам и многим другим природным и социальным явлениям. По сравнению с Тихонией масштабно-инвариантный мир хаотичен, непредсказуем и экстремален, даже в самой «тихой» своей форме, а именно в ситуациях, в которых фактор Мандельброта близок к 0. В то же время самые «дикие» формы масштабной инвариантности, с фактором Мандельброта, равным 2 или даже больше того, представляют собой сравнительно тихие формы Диконии. По меньшей мере в них действует некий руководящий принцип — масштабная инвариантность.

Масштабно-инвариантному миру присуща своего рода умеренная или тихая дикость: в нем уже не действуют законы Тихонии, но и полноценная дикость Диконии до некоторой степени сдерживается организующим принципом. Более того, и в этом тихо-диком мире есть части более тихие и более дикие. В более тихих частях фактор Мандельброта меньше 1, в то время как у более диких, в которых этот фактор больше 1, даже нет стандартного отклонения. Если фактор Мандельброта α меньше 1, то, по мере того как мы исследуем связи некой вершины, потом — связи всех вершин, соединенных с первой, потом — связи каждой новой вершины и так далее, доля известных нам вершин растет и асимптотически приближается к 100 %. Чем меньше значение α, тем быстрее наше знание о сети приближается к стопроцентному.

Если α = 1, наше знание о данной вершине остается постоянным: доля неизвестных нам связей остается приблизительно неизменной, и число открытых новых вершин приблизительно равно числу вершин уже исследованных.

Если α > 1, то чем больше связей какой-либо вершины мы исследуем, тем больше становится доля еще не исследованных вершин. Доля известных нам соединений падает и асимптотически приближается к 0 %, потому что у вершины обнаруживаются все новые и новые связанные вершины, по большей части нам неизвестные, причем быстрее, чем мы успеваем их исследовать. Чем больше значение α, тем быстрее доля известного нам приближается к 0 %.

Фактор Мандельброта — очень изящная математическая концепция. Теоретически он представляет собой точную меру «дикости» той или иной сети. К сожалению, рассчитать этот фактор для каждой конкретной сети очень трудно, потому что это вычисление требует огромного объема данных, а в реально встречающихся сетях данные могут быть неточными и противоречивыми. Тем не менее некоторые исследователи берутся за решение этой задачи, и в нескольких недавних научных работах описываются попытки оценки фактора Мандельброта для безмасштабных сетей реального мира. В большинстве таких статей приводятся оценки какого-нибудь другого параметра сети, который можно использовать для определения фактора Мандельброта.

Некоторые из этих результатов представлены в верхней части таблицы 1 на с. 198. Поскольку реальные значения фактора Мандельброта невозможно привести с высокой точностью, я не даю никаких конкретных численных оценок. Вместо этого я разбил сети на три группы: те, у которых фактор Мандельброта существенно меньше 1 (слабо хаотичные), те, у которых он близок к 1 (пограничное состояние с точки зрения наличия или отсутствия стандартного отклонения), и те, у которых этот фактор существенно превышает 1 (следовательно, у них даже в теории не существует стандартного отклонения). Так как оценки приблизительны, принадлежность сетей к этим группам не следует считать абсолютно точной. Тем не менее эта таблица дает хорошее представление о степени дикости хаоса в различных областях.