История математики - Ричард Манкевич

Оценить влияние на искусство начала двадцатого столетия неевклидовой геометрии намного труднее, чем воздействия идеи четвертого измерения. Проблема может корениться в сложности отображения неевклидовых пространств. Итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835–1900) отобразил геометрию Лобачевского в виде физической модели псевдосферы. Простого знания о существовании неевклидовой геометрии было достаточно, чтобы дать волю артистическому воображению. Возможно, ее формальный математический характер привел к тому, что она оказалась менее плодотворной, чем артистическая свобода, предложенная четвертым измерением. Живописцы вроде Дюшана были очень влиятельными, но они оставались в меньшинстве со своим предложением, чтобы художники изучали математику и другие точные науки. Однако анализ неевклидовой геометрии оказал влияние на основателя дадаизма — Тристана Тцара — и сюрреалистов.

В 1936 году живописец Шарль Сирато издал «Манифест дименсионизма». Цитируя теории Эйнштейна как один из источников своего вдохновения, он объявляет, что, «одухотворенные новой концепцией мира», искусства проникли в новое измерение. Живопись должна была оставить плоскость и выйти в объемное пространство, таким образом придя к пространственным конструкциям и инсталляциям. Он настаивал, что «скульптура должна покинуть замкнутое, неподвижное и мертвое пространство, то есть трехмерное пространство Евклида, чтобы завоевать артистически выразительное, четырехмерное пространство [Германа] Минковского». Манифест был подписан внушительным числом ведущих художников. Декларация учитывала и основные интерпретации четвертого измерения, то есть как пространственное и духовное измерение, так и время.

Однако, вообще говоря, немногие живописцы после 1930-х годов демонстрировали открытый интерес как к четвертому пространственному измерению, так и к неевклидовым пространствам, за исключением сюрреалистов. Андре Бретон нашел новые геометрии идеально подходящими в качестве аргументов в пользу новой «сюрреальности». Хотя сюрреалистичная теория Бретона в значительной степени базировалась на анализе подсознания Фрейда, на их создание также оказали влияние измерения высшего порядка, четырехмерное пространство-время, объединенное с более высокими измерениями иррационального и подсознательного. Мы можем заметить этот интерес в названиях некоторых из их работ, вроде «Молодой человек, удивленный полетом неевклидовой мухи» Макса Эрнста (1942), а также в их содержании. Примеры таких произведений — «пластичные» часы Сальвадора Дали, а также «Постоянство памяти» (1931) и гиперкуб — четырехмерный аналог куба — в его «Распятии» (Corpus Hypercubicus) 1954 года. Наиболее научный подход к искусству продемонстрировал сюрреалист Оскар Домингес, который, работая в скульптуре, был очарован жизнью объектов во времени. Его идеи относительно литохронических поверхностей кажутся очень близки к скульптурным работам Боччони. Оскар Домингес создал ряд пространственных «космических» картин, многогранные формы которых сравнивались с геометрическими моделями, построенными в Институте Анри Пуанкаре и показанными на фотографиях Мэна Рея на выставке сюрреалистов 1936 года. Но, чтобы неевклидовы геометрии явились миру во всей своей эстетической прелести и математической точности, надо было дождаться появления компьютеров.

Новые многомерные и неевклидовы геометрии, которые зародились как абстрактные математические теории, не только стали использоваться в новой физике, но и послужили источником вдохновения для художественных и философских движений, которые стремились свергнуть привычный образ мышления. В мире искусства эти геометрии принимали самые разные формы, от духовных до совершенно анархических, а порой и оба вида одновременно. Отказ от евклидовой геометрии как пространственной парадигмы означал, что было создано пространство для нового взгляда на жизнь, Вселенную и все сущее.

В истории математики существовало множество параллельных течений, из которых то одно, то другое периодически выходило на передний план. Такими были отношения между арифметикой и геометрией, или между чистой и прикладной математикой. Другой парой противоположностей можно назвать алгоритмическую и «аналитическую» математику. Последнюю более интересовали лежащие в основе структуры и «красивые» теоремы, тогда как первая в основном занималась выработкой процедур, необходимых для принятия практических решений. Мы видели, например, как в различных системах счисления использовались различные методы или алгоритмы, позволяющие найти иррациональные числа вроде √2. Исследование того, какая процедура наиболее эффективна в терминах достижения необходимого уровня точности при наименьшем числе шагов, — основная забота алгоритмической математики.

Первоначально термин «алгоритм» обозначал вычисления, выполняемые при помощи индо-арабских цифр, в отличие от вычислений на абаке или на счетной доске. По мере сокращения в Европе подсчетов на абаке, а также потому, что вычисления стали намного более трудоемкими, росло желание выполнять вычисления при помощи механического вычислительного устройства. В семнадцатом веке математики вроде Паскаля, Декарта и Лейбница мечтали создать универсальный язык, на котором можно было бы закодировать все математические проблемы, и написать методы решения, которые можно было бы выполнять механически. Они пытались построить разнообразные механические калькуляторы. Представление Лейбница об универсальном языке исчисления выходило за рамки дифференциального и интегрального исчислений и включало формальные правила, с помощью которых можно было решать вопросы науки, этики и закона. Использование вычислительных машин могло значительно увеличить мощность любого эффективного алгоритма, но лишь в двадцатом веке произошло объединение программного обеспечения и аппаратных средств.