Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки - Джим Холт

нельзя вечно продолжать процесс деления пространства на все более и более мелкие части. Следовательно, рано или поздно эти части окажутся меньше любой конечной величины.

Этот вывод завел плюралистов в страшный тупик, а все благодаря самому способному ученику Парменида – Зенону Элейскому. Зенон, обидевшись на тех, кто насмехался над его учителем, как рассказывает Платон, придумал ни много ни мало сорок диалектических доказательств единства и неизменности реальности. Самые известные из них – четыре парадокса движения, два из которых, «Дихотомия» и «Ахиллес и черепаха», направлены против бесконечной делимости пространства. Рассмотрим парадокс дихотомии. Чтобы проделать тот или иной путь, необходимо сперва пройти половину расстояния. Но для этого нужно сначала пройти четверть расстояния, а перед этим – одну восьмую часть и так далее. Иначе говоря, нужно проделать бесконечное число «под-путей» в обратном порядке. А значит, невозможно даже начать путь.

Говорят, когда Зенон рассказал этот парадокс Диогену Синопскому, Диоген «опроверг» его – встал и ушел. Но парадоксы Зенона отнюдь не тривиальны. Бертран Рассел называл их «невероятно тонкими и глубокими», и по сей день многие философы не считают, что они окончательно разрешены. Аристотель отметал их как глупости, но опровергнуть не мог, напротив, он добивался, чтобы их невозможно было ни доказать, ни опровергнуть, поскольку отрицал вовсе существование бесконечности в природе. Можно делить пространство сколько угодно, говорил Аристотель, но бесконечного числа частей никогда не получишь.

Отвращение Аристотеля к настоящей бесконечности возобладало в древнегреческой философии, а сто лет спустя «Начала» Евклида вычеркнули рассуждения о бесконечно малом и из геометрии. Это стало катастрофой для античной науки. Идея бесконечно малого предлагала заполнить понятийный пробел между числом и формой, статикой и динамикой. Возьмем хотя бы задачу о площади круга. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми, скажем, треугольника или квадрата – задача несложная. Но что делать, если границы фигуры криволинейны, как, например, у круга? Есть хитрый способ выйти из положения: притвориться, будто круг – это такой многоугольник, состоящий из бесконечного множества прямолинейных сегментов, каждый бесконечно малой длины. Именно такой подход позволил Архимеду в конце III века до н. э. вывести современную формулу площади круга с числом p. Однако Архимеду пришлось отказаться от применения бесконечности из-за евклидовых структур. Он был вынужден оформить свое доказательство как reductio ad absurdum, причем дважды reductio: круг он уподобил конечному многоугольнику, у которого число сторон все больше и больше. Это неуклюжее доказательство получило название «метод исчерпывания», поскольку предполагал постепенное «исчерпывание» площади криволинейной фигуры замещением ее сетью из все более и более мелких прямолинейных фигур.

Для статической геометрии метод исчерпывания оказался вполне действенным как альтернатива запретному бесконечно малому. Однако он оказался бесплодным для решения задач динамики, когда до бесконечности нужно дробить и пространство, и время. Например, падающее на землю тело постоянно ускоряется под воздействием гравитации. У него нет фиксированной скорости ни для какого конечного промежутка времени, пусть даже и в тысячную долю секунды: его скорость меняется каждый «миг». Аристотель считал понятие мгновенной скорости бессмысленным, евклидова аксиоматика не извлекала из нее никакой пользы. Осмыслить движение с постоянным ускорением можно было только рассуждениями с полной опорой на понятие бесконечно малого. Но именно таких рассуждений греки боялись как огня из-за horror infiniti – наследия Зенона. Вот почему греческая наука оградила сама себя от попыток математически атаковать задачи о веществе в движении. Физика под влиянием Аристотеля стала наукой качественной, а не количественной, а о пифагорейской цели познать мир через число все забыли. Да, греки накопили много конкретных знаний о природе, однако любовь к строгим ограничениям не позволила им открыть ни единого физического закона.

Несмотря на то, что Аристотель и Евклид подвергли бесконечно малое остракизму, эта идея не полностью исчезла из западной мысли. Благодаря сильному влиянию Платона, который в отличие от Аристотеля не ограничивал все сущее одним лишь миром чувственного восприятия, бесконечно малое продолжило свою мутноватую карьеру объекта трансцендентных спекуляций. Неоплатоники, в том числе Плотин, и раннехристианские богословы вроде святого Августина отождествили бесконечность с Богом и тем самым восстановили ее репутацию. Средневековые философы потратили на диспуты о бесконечно малом даже больше времени, чем о бесконечно большом.

В эпоху Возрождения платонизм снова вошел в моду, и бесконечно малое просочилось обратно в математику, хотя в несколько мистическом обличье. Иоганн Кеплер полагал, что бесконечно малое существует как ниспосланный свыше «мост непрерывности» между криволинейным и прямолинейным. Логические тонкости его не особенно интересовали – «Природа учит геометрии интуитивно, безо всякой рационализации», – писал он. Поэтому в 1612 году он применил бесконечно малое для расчета идеальных пропорций важнейшего предмета – винного бочонка. И его расчеты оказались верными.

Теплые чувства Кеплера к бесконечно малому разделяли Галилей и Ферма. Все трое понемногу сдвигались от бесплодных структур евклидовой геометрии в сторону плодородной, пусть и несколько нестрогой и буйной, науке о движении, описывавшей перемещение тел в бесконечно делимых пространстве и времени. Но эти натурфилософы оказывались в некоторой богословской западне, из которой было никак не выбраться: как настоящая бесконечность, которую следует считать атрибутом исключительно Господа, может существовать в конечном мире, который Он создал?

Сильнее всего этот вопрос взволновал Блэза Паскаля. Природа являет нам две бесконечности как непостижимые тайны, которыми нужно восхищаться, а не пытаться их понять, писал Паскаль. И применять в рассуждениях, мог бы он добавить. Ведь Паскаль был еще и математиком и свободно вводил бесконечно малые величины в свои расчеты площадей криволинейных фигур. Трюк состоял в том, чтобы опустить их как пренебрежимо малые, как только удавалось получить желаемый конечный ответ. Это оскорбляло логические чувства его современников вроде Декарта, но критикам Паскаль отвечал, в сущности, что чего разумом не понимаешь, то сердцем чувствуешь.

Труды Паскаля предвосхитили современную науку о природе, однако он (как и Ферма и Галилей) так и не порвал с евклидовой традицией. Но геометрия в одиночку никак не могла совладать с бесконечно малым, а без этого невозможно было исчислить движение. Укротить бесконечно малое удалось Ньютону и Лейбницу лишь в шестидесятые-семидесятые годы XVII века, когда они более или менее одновременно разработали «математический анализ бесконечно малых», который мы теперь знаем просто как математический анализ. Древние философские сложности с бесконечно малыми величинами сменились чистейшим восхищением их научным плодородием.

А в руках Ньютона бесконечно малые оказались плодородными до предела. Хотя соперник Ньютона Лейбниц придумал более элегантную систему формул для математического анализа бесконечно малых, которой мы пользуемся сегодня, именно Ньютон применил этот новый инструмент для осмысления вселенской гармонии. Он сформулировал законы движения и тяготения, а