Значимые фигуры - Йен Стюарт

Коши распространил дифференциальное и интегральное исчисление с действительных чисел на комплексные. Комплексный анализ появился на свет, когда возражения Беркли против флюксий Ньютона в конце концов получили достойный ответ от Карла Вейерштрасса, сформулировавшего строгое определение «предельного перехода». Одной из горячих тем в комплексном анализе середины XIX в. было исследование эллиптических функций, которые, помимо прочего, определяют длину дуги эллипса. Эти функции представляют собой глубокое обобщение тригонометрических функций. Фурье использовал одно базовое свойство тригонометрических функций – они являются периодическими и принимают те же значения при добавлении к аргументу функции 2π. Эллиптические функции имеют два независимых комплексных периода и повторяют те же значения на решетке из параллелограммов на комплексной плоскости. Они демонстрируют красивую связь между комплексным анализом и группами симметрии (переносами решетки). Эта идея используется в доказательстве Великой теоремы Ферма, данном Уайлсом. Кроме того, эллиптические функции появляются в механике, к примеру в выводе точной формулы для периода колебаний маятника. Более простая формула, которую выводят в школьном курсе физики, является аппроксимацией колебаний маятника для очень маленького угла.

Риману нравился подход Дирихле к математике, очень напоминавший его собственный. Вместо систематического логического развития оба предпочитали начинать с интуитивного понимания проблемы в целом; затем разбирались в центральных концепциях и взаимоотношениях и лишь затем заполняли логические пробелы. Тот и другой всеми силами старались избежать объемных вычислений. Многие самые успешные математики сегодняшнего дня поступают так же. Доказательства жизненно важны для математики, и логика их должна быть безупречной, но доказательства часто приходят после общего понимания. Слишком строгий подход или слишком ранние попытки доказательства могут задушить хорошую идею. Риман практиковал такой подход на протяжении всей своей научной карьеры. У этого метода было одно большое преимущество: общую линию рассуждений в нем можно проследить, не тратя многие недели на проверку сложных расчетов. Его недостатком, по крайней мере с точки зрения некоторых, является необходимость мыслить концептуально, а не просто пробиваться через череду расчетов.

Для получения степени доктора философии Риман переписал книгу по комплексному анализу с введением в нее топологических методов. Сделал он это из-за особенности, с которой приходится сражаться каждому студенту: склонность комплексных функций к неоднозначности. В действительном анализе тоже есть намеки на это явление. К примеру, каждое ненулевое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный, другой отрицательный. Эту возможность следует иметь в виду при решении алгебраических уравнений, но справиться с этим несложно – достаточно разбить функцию с квадратным корнем на две отдельные части: с положительным квадратным корнем и с отрицательным квадратным корнем.

Та же неоднозначность свойственна и квадратному корню комплексного числа, но здесь уже недостаточно разделить его на две отдельные функции. Понятия «положительный» и «отрицательный» не имеют ясного – и полезного – значения в случае комплексных чисел, так что естественного способа разделить две эти величины просто не существует. Но есть и более глубокий момент. В случае действительных чисел, если мы будем изменять положительное число непрерывно, то его положительный квадратный корень тоже будет меняться непрерывно, как и его отрицательный квадратный корень. Более того, два этих корня всегда будут различны. Но в комплексном случае непрерывное изменение исходного числа может превратить один из его квадратных корней в другой, не прекращая при этом непрерывно их сдвигать.

Традиционный способ разобраться с этим состоял в том, чтобы разрешить функции с разрывами, но тогда вам придется все время проверять, не приближаетесь ли вы к разрыву. У Римана была идея получше: модифицировать обычную комплексную плоскость так, чтобы сделать квадратный корень однозначной функцией. Делается это таким образом: две одинаковые плоскости помещаются одна над другой и прорезаются вдоль положительной части действительной оси; затем обе щели соединяются так, чтобы верхняя плоскость переходила в нижнюю при пересечении прорези. Теперь, если интерпретировать квадратный корень с использованием этой «Римановой поверхности», он станет однозначным. Это радикальный подход. Идея в том, чтобы прекратить беспокоиться насчет того, с каким из множества возможных значений вы в данный момент имеете дело, и позволить геометрии Римановой поверхности обо всем позаботиться. И это новшество не было единственным в докторской диссертации Римана. Еще он предложил использовать для доказательства существования определенных функций идею из математической физики – принцип Дирихле. Этот принцип гласит, что функция, минимизирующая энергию, представляет собой решение уравнения в частных производных – уравнения Пуассона, – которому подчиняются гравитационные и электрические поля. Гаусс и Коши уже открыли на тот момент, что это самое уравнение возникает естественным образом в комплексном анализе в связи с дифференциальным исчислением.

* * *

Риман погрузился в академическую жизнь. Природная стеснительность сделала для него чтение лекций настоящим испытанием, но со временем он приспособился и научился находить общий язык с аудиторией. В 1857 г. он был назначен полным профессором и в том же году опубликовал еще одну крупную работу по теории абелевых интегралов – широкого обобщения эллиптических функций, обеспечившего плодородную почву для его топологических методов. Вейерштрасс тогда тоже представил статью по этой теме в Берлинскую академию, но теперь, когда вышла статья Римана, Вейерштрасс был настолько ошеломлен ее новизной и глубиной, что отозвал свою статью и никогда больше ничего не публиковал в этой области. Имейте в виду, это не помешало ему указать на трудноуловимую ошибку в использовании Риманом принципа Дирихле. Дело в том, что Риман активно использовал в своей работе функцию, которая минимизировала некоторую связанную с ней величину. Это вело к важным результатам, но Риман не привел строгого доказательства того, что такая функция в принципе существует. (Из физических соображений он был убежден, что она должна существовать, но подобные рассуждения не обладают достаточной строгостью и могут привести к ошибке.) На этом этапе математики разделились на тех, кто жаждал логической строгости и потому считал это упущение серьезным, и тех, кого убедили физические аналогии и кого больше интересовало уточнение результатов. Риман, пребывавший, естественно, во втором лагере, сказал, что даже если в его логике и есть какой-то недочет, то принцип Дирихле для него был всего лишь самым удобным способом посмотреть, что происходит, и заявленные результаты в целом верны.

В каком-то смысле это был довольно обычный спор между поборниками теоретической математики и сторонниками математической физики; та же драма регулярно разыгрывается и сегодня, будь то в связи с дельта-функцией Дирака или диаграммами Фейнмана. Обе стороны были правы в соответствии со своими собственными стандартами. Мало смысла сдерживать прогресс в физике только потому, что какая-то правдоподобная и эффективная методика не может быть обоснована с полной логической строгостью. Но верно и то, что отсутствие такого обоснования – потенциальная бомба для математиков, намекающая, что в наших представлениях по этому вопросу чего-то не хватает. Ученик Вейерштрасса Герман Шварц удовлетворил математиков, отыскав другое доказательство Римановых результатов, но физики по-прежнему предпочитали нечто более интуитивное. Со временем Гильберт разобрался с проблемой существования, доказав новый вариант принципа Дирихле, одновременно строгий и подходящий для методов Римана. А пока физики продвигались вперед, чего не смогли бы сделать, если бы слишком внимательно прислушивались к возражениям математиков. Кстати говоря, попытки математиков обосновать интуитивные результаты Римана дали массу весьма значительных результатов и концепций, которые не были бы открыты, если бы математики в этом вопросе солидаризовались с физиками. Все оказались в выигрыше.