Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт

Благодаря своей интуиции ученого Фурье понял, что его метод должен быть универсален. Теоретически вы можете представить себе, что удерживаете температуру металлического стержня на значении 0° на одной половине, но при этом сохраняете 10°, или 50°, или сколько необходимо, на остальной его длине. Физиков до сих пор не интересовали разрывные функции, чьи формулы внезапно меняются. Они вообще не имели обыкновения работать с формулами. Мы прибегаем к ним для отображения физической реальности, но это всего лишь техника, наш образ мышления. Конечно, температура окажется иной на стыке этих двух зон, но математические модели всегда имеют какие-то допущения по отношению к физической реальности. Метод Фурье для тригонометрических рядов, приложенный к разрывной функции такого рода, судя по всему, принес ощутимые результаты. Стальные стержни действительно продемонстрировали точно такое распределение температуры, как предсказывало его уравнение теплопроводности, решенное с помощью тригонометрических рядов. В своей «Аналитической теории тепла» он четко описал свою позицию: «В общем, функция f(x) представляет последовательность значений, или ординат, каждая из которых произвольна. Мы не предполагаем, что эти ординаты подлежат общему закону. Они взаимодействуют между собой каждый раз по-своему».

Прямоугольная волна и некоторые ее Фурье-аппроксимации

Отважное утверждение; к сожалению, приведенное доказательство идеи не имело достаточно убедительной математической базы. Фактически оно оказалось еще более ошибочным, чем аргументы Эйлера или Бернулли. Если утверждение Фурье соответствовало истине, то его ряды в итоге могли стать общим законом для разрывных функций. Функция, приведенная выше, со значениями 0 и 1, имеет периодическую родственную прямоугольную волну. И эта волна характеризуется единственным рядом Фурье, причем вполне изящным, работающим одинаково надежно и там, где функция равна 0, и там, где она равна 1. Иными словами, функция, которая кажется представленной двумя разными законами, может быть переписана в рамках одного правила.

Мало-помалу математики XIX в. научились разделять разные концептуальные вопросы в этой сложнейшей области. Первым стало значение самого термина «функция». Вторым – разные способы представления функций: в виде формулы, степенного ряда, ряда Фурье и т. д. Третий вопрос – какими свойствами обладают функции. Четвертый – какое представление функции гарантирует эти свойства. Простой многочлен, например, определяет непрерывную функцию. А обычный ряд Фурье, судя по всему, нет.

Очень быстро анализ Фурье превратился в тест для самой идеи функции. Это обострило проблемы, и важность приобрели скрытые различия технических приемов. Не кто иной, как Дирихле, в 1837 г. предложил современное определение функции в статье, посвященной рядам Фурье. В результате он согласился с Фурье: переменная y является функцией другой переменной x, если для каждого значения x (в определенном диапазоне) задано единственное значение y. Он недвусмысленно утверждал, что здесь не нужны специальный закон или формула – достаточно, чтобы у можно было определить некой четко прописанной последовательностью математических действий, примененных к x. На тот момент должен был казаться экстремальным пример, приведенный им ранее, а именно в 1829 г.: функция f(x) принимает одно значение, когда x – рациональное число, и другое, когда x – иррациональное. Эта функция разрывная в каждой своей точке. (В наше время функции, подобные этой, рассматриваются как довольно невинные, так как возможно гораздо худшее поведение.)

Для Дирихле квадратный корень не был одной двузначной функцией. Это были две однозначные функции. Для действительного x это естественно – но не существенно: взять положительный квадратный корень как одну из них и отрицательный как другую. Для комплексных чисел нет очевидного естественного выбора, хотя какое-то число решений можно найти, чтобы облегчить жизнь.

У математиков до сих пор есть привычка: несмотря на великое множество определений понятия «функция», они всё равно то и дело открывают у нее еще какие-то качества, выходящие за рамки определения. В частности, они предположили, что любая разумная формула, например многочлен, автоматически определяет непрерывную функцию. Однако они никогда не доказывали этого – и прежде всего потому, что не определили термин «непрерывная». По большей части данная область всё еще находилась под властью интуитивных построений, отнюдь не всегда правильных.

Первым начал серьезно разбираться в этом беспорядке священник из Богемии, философ и математик Бернард Больцано. Он подвел надежный логический фундамент под большинство основных идей исчисления; главным исключением было то, что он принял как данность существование действительных чисел. Он настаивал, что бесконечно малые и бесконечно большие величины не существуют, а значит, не могут быть использованы, как бы соблазнительно это ни выглядело. И он же дал первое вразумительное определение непрерывной функции. А именно: f непрерывна, если разница f(x + a) – f(x) может быть настолько малой, насколько мы пожелаем, если а тоже достаточно мала. Предыдущие авторы предпочитали формулировки вроде «если а сколь угодно малая величина, то f(x + a) – f(x) также сколь угодно мала». Но для Больцано а была всего лишь числом, подобным другим. Он рассуждал так: каким бы малым ни было f(x + a) – f(x), вы всё равно должны найти для него соответствующую величину а. Не было необходимости, чтобы одна и та же величина использовалась каждый раз.

Например, f(x) = 2x непрерывна, потому что 2(x + a) – 2x = 2a. Если вы хотите, чтобы 2а было меньше определенного числа, скажем 10–10, вам нужно сделать а меньше 10–10/2. Если вы возьмете более сложную функцию, скажем f(x) = x2, вычисления будут немного сложнее, потому что правильное значение а зависит от x так же, как и от выбранной нами величины, 10–10, но любой опытный математик решит эту задачу за пару минут. Пользуясь таким определением, Больцано доказал – впервые в истории, – что полиномиальная функция непрерывна. Но на протяжении 50 лет до этого никому не было дела. Больцано опубликовал свою работу в журнале, который вообще не мог попасть в руки математика – не то чтобы его заинтересовать. В наши дни господства интернета в это трудно поверить, но еще 50 лет назад средства коммуникации не шли ни в какое сравнение с нашими. Что уж говорить о периодике 180-летней давности?

В 1821 г. Коши пришел практически к тому же выводу, но использовал несколько путанную терминологию. Его определение непрерывности функции f заключалось в том, что разница между f(x) и f(x + а) бесконечно мала, если бесконечно мала величина а, что на первый взгляд кажется старым, плохо определенным подходом. Однако бесконечно малой величиной для Коши было не отдельное число, почему-то бесконечно малое, а постоянно убывающая последовательность чисел. Например, последовательность 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001 и т. д. бесконечно мала в понимании Коши, но каждое отдельное число, например 0,0001, – обычное действительное число. Возможно, малое, но не бесконечно. Учитывая терминологию, мы видим, что концепция непрерывности Коши в точности повторяет Больцано.