Математика для любознательных (сборник) - Яков Перельман

Всматриваясь внимательно в ход выкладок, вы, без сомнения, поймете причину такого однообразия результатов. При вычитании неизбежно должна получаться в разряде десятков цифра 9, а по сторонам ее - цифры, сумма которых = 9. При последующем сложении должна поэтому получиться на первом справа месте цифра 9, далее, от 9 + 9, цифра 8и 1-ца в уме, которая при сложении с 9-ю сотнями дает 10. Отсюда - 1089.

Если вы станете повторять этот фокус несколько раз кряду, не внося в него никаких изменений, то секрет ваш, разумеется, будет раскрыт: загадчик сообразит, что постоянно получается одно и то же число 1089, хотя, быть может, и не отдаст себе отчета в причине такого постоянства. Вам необходимо поэтому видоизменять фокус. Сделать это не трудно, так как 1089 = 33 x 33 = 11 x 11 x 3 x 3 = 121 x 9 = 99 x 11. Достаточно поэтому просить загадчика, когда вы доведете его до числа 1089, разделить этот результат на 33, или на 11, или на 121, или на 99, или на 9, - и тогда лишь назвать получающееся число. У вас, следовательно, в запасе имеется 5 изменений фокуса, - не говоря уже о том, что вы можете просить загадчика также умножить сумму на любое число, мысленно выполняя то же самое действие.

Из многочисленных разновидностей фокусов этого рода опишем один, основанный на знакомом уже нам свойстве множителя, состоящего из ряда одних девяток; когда умножают на него число со столькими же цифрами, получается результат, состоящий из двух половин: первая - это умножаемое число, уменьшенное на 1-цу; вторая - результат вычитания первой половины из множителя. Например: 247 x 999 = 246753; 1372 x 9999 = 13718628 и т. п. Причину легко усмотреть из следующей строки:

247 x 999 = 247 x (1000-1) = 247000-247 = 246999-246.

Пользуясь этим, вы предлагаете целой группе товарищей произвести деление многозначных чисел - одному 68933106:6894, другому 8765112348:99999, третьему 543456:544, четвертому 12948705:1295 и т. д., - а сами беретесь обогнать их всех, выполняя те же задачи. И прежде, чем они успеют приняться за дело, вы уже вручаете каждому бумажку с полученным вами безошибочным результатом деления: первому - 9999, второму 87652, третьему - 999, четвертому - 9999.

Вы можете сами придумать по указанному образцу ряд других способов поражать непосвященных мгновенным выполнением деления: для этого воспользуйтесь некоторыми свойствами тех чисел, которые помещены в «Галерее числовых диковинок» (см. главу VI).

Задача № 50

Попросите кого-нибудь сообщить вам его любимую цифру. Допустим, вам назвали цифру 6.

- Вот удивительно! - восклицаете вы. - Да ведь это как раз самая замечательная из всех значащих цифр.

- Чем же она замечательна? - осведомляется ваш озадаченный собеседник.

- А вот посмотрите: умножьте вашу любимую цифру на число значащих цифр, т. е. на 9, и полученное число (54) подпишите множителем под числом 12345679:

Что получится в произведении?

Ваш собеседник выполняет умножение - и с изумлением получает результат, состоящий сплошь из его любимых цифр:

666666666.

- Вот видите, какой у вас тонкий арифметический вкус, - заканчиваете вы. - Вы сумели избрать из всех цифр как раз ту, которая обладает столь удивительным свойством!

Однако в чем тут дело?

Решение

Точно такой же изысканный вкус оказался бы у вашего собеседника, если бы он избрал какую-нибудь другую из 9-ти значащих цифр, потому что каждая из них обладает тем же свойством:

Почему это так, вы сообразите, если припомните то, что говорилось о числе 12345679 в «Галерее числовых диковинок».

Фокусы, относящиеся к этой категории, могут быть изменяемы на разные лады. Опишу один из видов этого фокуса, довольно сложный, но именно потому и производящий эффектное впечатление.

Задача № 51

Допустим, что вы родились 18 мая 1903 года и что вам теперь 23 полных года. Но я не знаю ни даты вашего рождения, ни вашего возраста. Тем не менее я берусь отгадать то и другое, заставив вас проделать лишь некоторый ряд вычислений.

А именно: порядковый номер месяца (май, 5-й месяц) я прошу вас умножить на 100, прибавить к произведению число месяца (18), сумму удвоить, к результату прибавить 8, полученное число умножить на 5, к произведению прибавить 4, помножить результат на 10, прибавить 4 и к полученному числу прибавить ваш возраст (23).

Когда вы все это проделаете, вы сообщаете мне окончательный результат вычислений. Я вычитаю из него 444, а разность разбиваю на грани, справа налево, по 2 цифры в каждой: получаю сразу как день и месяц вашего рождения, так и ваш возраст.

Действительно. Проделаем последовательно все указанные вычисления:

Произведя вычитание 52267-444, получаем число 51823.

Теперь разобьем это число на грани, справа налево, по две цифры в каждой. Имеем:

5-18-23,

т. е. 5-го месяца (мая), числа 18; возраст 23 года.

Почему же так получилось?

Решение

Секрет нашего фокуса легко понять из рассмотрения следующего равенства:

Здесь буква m обозначает порядковый номер месяца, t - число месяца, n - возраст. Левая часть равенства выражает все последовательно произведенные вами действия, а правая - то, что должно получиться, если раскрыть скобки и проделать возможные упрощения. В выражении 10000m + 100t + n ни m, ни t, ни n не могут быть более чем двузначными числами; поэтому число, получающееся в результате, всегда должно при делении на грани, по две цифры в каждой, распасться на три части, выраженные искомыми числами m, t и n.

Предоставляем изобретательности читателя придумать видоизменения этого фокуса, т. е. другие комбинации действий, дающие подобный же результат.

Задача № 52

Читателю же предлагаю раскрыть также секрет следующего незамысловатого фокуса, который описан еще в «Арифметике» Магницкого, в главе: «Об утешных некиих действиях через арифметику употребляемых».