Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио

Страстные поклонники золотого сечения утверждают, что это соотношение обладает особыми эстетическими свойствами не только в изобразительном искусстве, но и в музыке, где оно создает особенно приятные созвучия. Например, в книгах о золотом сечении сплошь и рядом пишут, что многие считают, будто самые благозвучные музыкальные интервалы – это большая и малая сексты и что эти интервалы связаны с золотым сечением. Для чистого музыкального тона характерна определенная частота, выраженная в количестве колебаний в секунду, и определенная амплитуда, определяющая громкость в конкретный момент времени. Обычно для настраивания музыкальных инструментов используют ноту ля, которой соответствует частота 440 колебаний в секунду. Большая секста получается из сочетания ля с до: последней соответствует частота около 264 колебаний в секунду. Отношение частот 440/264 сокращается до 5/3 – то есть до отношения двух последовательных чисел Фибоначчи. Большая секста получается, если взять верхнее до (528 колебаний в секунду) и ми (330 колебаний в секунду). В этом случае отношение 528/330 сокращается до 8/5, то есть тоже до отношения двух последовательных чисел Фибоначчи – это уже очень близко к золотому сечению (напомню, что отношения последовательных чисел Фибоначчи стремятся к золотому сечению). Однако и здесь, как и в живописи, понятие «самого благозвучного» музыкального интервала несколько неоднозначно.

Инструменты, ноты у которых фиксированы, например, фортепиано, настраивают по «равномерно темперированному строю», который популяризировал Бах, где каждый полутон обладает таким же отношением частот, что и следующий, поэтому легко играть в любой тональности. Отношение двух соседних частот у хорошо темперированного инструмента равно 21/12 (то есть корень 12 степени из 2). Откуда взялось это число? Его происхождение восходит к Древней Греции. Вспомним, что октава получается, если поделить струну на две равные части (то есть соотношение частот должно быть 2 к 1), а квинта – если соотношение частот будет 3 к 2 (то есть при делении струны на две части – две трети и одна треть). Один из вопросов, особенно занимавших пифагорейцев, состоял в том, можно ли создать целое число октав, повторяя процедуру создания квинты (то есть последовательно применяя соотношение частот 3 к 2). В математических терминах это все равно что спросить, существуют ли два целых числа n и m, такие, что (3/2)n = 2m. Как выясняется, целых чисел, удовлетворяющих этому равенству, нет, однако при n = 12 и m = 7 мы подходим к решению довольно близко, ведь по странному совпадению 21/12 примерно равняется 31/19 (корень 19 степени из 3). Поэтому двенадцать частот октавы – это приблизительно равные степени базового соотношения частот 21/12. Кстати, хотите верьте, хотите нет, но 19/12 = 1,58, не так уж далеко от φ.

Золотое сечение в принципе могло бы повлиять на то, какое удовольствие мы получаем от музыкального произведения, если учесть концепцию пропорционального равновесия. Однако положение дел здесь несколько сложнее, чем в изобразительном искусстве. Неудачная композиция картины сразу бросается в глаза. С другой стороны, в музыке нужно выслушать произведение с начала до конца, а потом уже делать выводы. Тем не менее не приходится сомневаться, что опытные композиторы строят свои произведения так, чтобы не только разные части прекрасно гармонировали друг с другом, но можно было оценивать и каждую часть в отдельности – она служит сама себе мерилом.

Мы видели много примеров, когда приверженцы золотого сечения изучали пропорции всевозможных произведений искусства в поисках действительного или мнимого применения φ. Эти страстные поклонники подвергли подобному обращению и многие музыкальные композиции. Результаты получились очень похожие: наряду с единичными случаями, когда золотое сечение и в самом деле легло в основу той или иной системы пропорций, налицо множество ошибочных предположений.

Пол Ларсон из Университета Темпл в 1978 году заявил, что обнаружил золотое сечение в нотной записи первой европейской музыки – в хоралах «Kyrie» из собрания грегорианских хоралов «Liber Usualis». Тридцать хоралов «Kyrie» в этом собрании созданы с разбросом более чем в шестьсот лет, начиная с Х века. Ларсон утверждал, что проанализировал 146 частей хоралов «Kyrie» и в 105 из них обнаружил значимые «события» (например, начало или конец музыкальной фразы), разделенные в отношении золотого сечения. Однако в отсутствие каких бы то ни было исторических данных, подтверждающих, что композиторы тех времен применяли золотое сечение при создании этих хоралов, и каких бы то ни было рациональных объяснений, зачем это было делать, можно лишь считать, что перед нами, к сожалению, очередной пример жонглирования цифрами.

В целом подсчет нот и ритма нередко выявляет определенные численные соотношения между разными частями музыкальной пьесы, и у того, кто проводит этот анализ, возникает, конечно, понятное и естественное искушение сделать вывод, что композитор сознательно все рассчитал. Однако если нет надежных документальных свидетельств – а во многих случаях их нет – подобные предположения сомнительны.

В 1995 году математик Джон Ф. Путц из колледжа Альма в Мичигане исследовал вопрос о том, пользовался ли Моцарт (1756–1791) золотым сечением в двадцати девяти частях фортепианных сонат, каждая из которых, в свою очередь, состоит из двух отчетливо выраженных фрагментов: сначала идет экспозиция, когда слушателя знакомят с музыкальной темой, а затем разработка, где тема развивается и пересматривается. Поскольку музыкальные произведения делятся на одинаковые по продолжительности единицы под названием «такты», Путц изучил отношение количества тактов в двух частях сонат. Моцарт, который в школьные годы, по свидетельству его сестры, «не говорил и не думал ни о чем, кроме цифр», вероятно, один из лучших кандидатов на то, чтобы строить свои сочинения на математической основе. Более того, и до Путца было опубликовано несколько статей, где утверждалось, что в фортепианных сонатах Моцарта и в самом деле видно влияние золотого сечения. Первые результаты Путца оказались очень многообещающими. В сонате № 1 до мажор, к примеру, в первой части разработка состоит из шестидесяти двух тактов, а экспозиция из тридцати восьми. Отношение 64/38 = 1,63 очень близко к золотому сечению. Однако тщательное изучение всех данных в целом убедило Путца, что нет, Моцарт не применял в своих сонатах золотое сечение и вообще неочевидно, что простое соотношение длительности частей произведения делает его особенно приятным. Поэтому, хотя многие называют музыку Моцарта подлинно божественной, божественная пропорция тут ни при чем.

А вот знаменитый венгерский композитор Бела Барток (1881–1945), судя по всему, применял золотое сечение довольно часто. Бела Барток был не только пианистом-виртуозом, но и фольклористом и сочетал элементы, заимствованные у других композиторов, которыми он восхищался – в том числе, у Штрауса, Листа и Дебюсси – с фольклорными мотивами, что и придавало его музыке ярчайшую индивидуальность. Как-то раз Барток сказал, что «мелодический мир моих струнных квартетов если и отличается от народных песен, то несущественно». Ритмическая живость его музыки в сочетании с тщательно рассчитанной симметрией форм делает его одним из самых оригинальных композиторов XX века.