Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

В следующем, 2009-м, году на чемпионате мира в Берлине Болт положил конец спекуляциям о том, насколько быстро он может бегать. На этот раз никаких жестов и ударов в грудь. Он со всем усердием добежал до финиша и побил свой пекинский рекорд 9,69, показав еще более удивительный результат – 9,58 секунды. Поскольку событие было ожидаемым, специалисты по биомеханике приготовили лазерное оборудование[194], сходное по действию с радарами, используемыми полицией для ловли водителей-лихачей. Эти высокотехнологичные инструменты позволяли измерять положение спринтеров сто раз в секунду. Когда они вычислили мгновенную скорость Болта, получились такие результаты:

Незначительные колебания вокруг общего тренда отражают увеличения и снижения скорости, которые неизбежны во время бега. В конце концов, бег – это серия отталкиваний и приземлений. Скорость Болта немного менялась каждый раз, когда он приземлялся ногой на землю, притормаживал, а затем снова толкал себя вперед и взмывал в воздух. Какими бы интригующими ни были такие колебания, они раздражают специалистов по аналитике данных. Мы желаем видеть тренд, а не мелкие вихляния, и для этой цели предыдущий подход с аппроксимирующей кривой был не хуже, а, возможно, и лучше. После сбора всех данных высокого разрешения и наблюдения колебаний специалистам все равно пришлось их чистить. Они фильтровали их, чтобы выявить более значимый тренд.

Мне такие колебания преподносят важный урок. Я рассматриваю их как метафору, своего рода поучительную басню о природе моделирования реальных явлений с помощью анализа. Если мы попытаемся зайти с разрешением в своих измерениях слишком далеко и начнем смотреть на любое явление в мучительно мелких деталях во времени или пространстве, то станем замечать нарушение гладкости. В данных о скорости Усэйна Болта колебания сделали общий тренд похожим на ершик для чистки труб. То же самое произошло бы с любой формой движения, если бы мы могли измерять его в молекулярном масштабе. На этом уровне движение становится дерганым и весьма далеким от плавности. Анализ больше не может нам много рассказать об этом, по крайней мере, непосредственно. Тем не менее, если нас волнуют общие тенденции, сглаживания колебаний может оказаться вполне достаточно. Понимание природы движения и изменений во Вселенной, которые дает анализ, – это доказательство мощи сглаженности, хотя она может быть всего лишь приблизительной.

И последний урок. В математическом моделировании, как и во всей науке, всегда нужно выбирать, что подчеркивать, а чем пренебречь. Искусство абстрагирования заключается в понимании того, что существенно, а что нет, где сигнал, а где шум, что составляет тенденцию, а что – всего лишь колебания вокруг. Это искусство, потому что в таком выборе всегда присутствует элемент опасности; ведь он подходит довольно близко к принятию желаемого за действительное и интеллектуальной нечестности. Величайшие ученые, такие как Галилей и Кеплер, сумели пройти по краю этой пропасти.

Пикассо говорил: «Искусство – это ложь, которая заставляет нас осознать правду»[195]. То же самое можно сказать об анализе как модели природы. В первой половине XVII века он стал использоваться как мощная абстракция движения и изменения, а во второй его половине те же виды творческого выбора – ложь, раскрывающая правду, – подготовили почву для революции.

Во второй половине XVII века Исаак Ньютон[196] в Англии и Готфрид Лейбниц в Германии навсегда изменили путь развития математики. Они взяли лоскутное одеяло идей о кривых и движении и превратили его в единое полотно математического анализа.

Когда Лейбниц в 1673 году ввел слово calculus (исчисление), он использовал с ним неопределенный артикль, а иногда говорил более ласково – «мое исчисление». Ученый употреблял это слово в общем смысле, как систему правил и алгоритмов для выполнения вычислений. Позже, когда его система стала более отлаженной и отшлифованной, артикль стал определенным. Однако сейчас, к сожалению, все артикли и притяжательные местоимения исчезли, осталось просто слово calculus, банальное и скучное.

Не только артикли, но и само слово calculus может рассказывать интересные истории. Оно происходит от латинского корня calx, означающего маленький камешек – напоминание о тех временах, когда ученые использовали камешки для подсчета, а значит, и для вычислений. Этот же корень дает такие слова, как calcium (кальций) и chalk (мел). Ваш дантист может применять это слово для обозначения зубного камня. Врачи употребляют его для желчных камней, камней в почках или в мочевом пузыре. По иронии судьбы, оба пионера анализа – и Ньютон, и Лейбниц – умерли в мучительных болях, страдая от камней: у Ньютона были камни в мочевом пузыре, а у Лейбница – в почках…

Площади, интегралы и основная теорема анализа

Хотя при исчислениях когда-то использовались камешки, ко времени Ньютона и Лейбница исчисление вовсю занималось кривыми и их новомодными исследованиями с помощью алгебры. Тридцатью годами ранее Ферма и Декарт открыли, как использовать алгебру для нахождения максимумов, минимумов и касательных к кривым. Неуловимым оставалось поиск площадей кривых, или, точнее, площадей фигур, ограниченных кривыми.

Задача площади, изначально называемая квадратурой, или квадрированием кривых, поглощала и разочаровывала математиков два тысячелетия. Для отдельных частых случаев было придумано множество хитроумных трюков – от работ Архимеда по определению площади круга и квадратуры параболы до нахождения Пьером Ферма площади под кривой y = xn. Однако в этих попытках не было системы. Задачи с областями решались по ситуации, от случая к случаю, как если бы математик каждый раз начинал работу заново.

С теми же сложностями математики сталкивались при определении объемов криволинейных тел и длин различных дуг. Даже Декарт полагал, что определение длины дуги выше человеческого понимания. В своей книге по геометрии он писал: «Отношение, существующее между прямыми и кривыми линиями, не известно человеку и даже, по моему мнению, не может быть известно»[197]. Все подобные задачи – длины кривых, площади и объемы – требуют нахождения бесконечных сумм бесконечно малых частей. Говоря современным языком, они все нуждаются в интегралах. Ни у кого не было надежной системы решения таких задач.