Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Это только одна проблема. На самом деле я не знаю, почему эта формула верна.

Мне нравится считать себя любопытным исследователем. Также мне доводится жить с профессиональным математиком, в чьем разуме по полочкам разложено множество знаний, которыми я не обладаю. Но – и в этом парадокс моей семейной жизни – эти точки не соединяются. Я почти никогда не прошу жену чему-то меня научить.

Возможно, у меня просто нет такой привычки. Возможно, асимметрия обучения не согласуется с динамикой брака. Возможно, я менее любопытен, чем мне кажется, или во мне больше глупой гордости. Или, может быть, за время, прошедшее с 2003 г., я перестал быть ребенком, который всегда старается понять смысл любой шутки, и стал взрослым, который притворяется, что и так все понял.

В любом случае, сегодня я спрашиваю.

Тарин улыбается, берет купон со скидкой на крем-сыр и на обратной стороне показывает мне, как решается интеграл Гаусса. Возведите все в квадрат, примените теорему Фубини; переведите в полярные координаты, и – вуаля – результат налицо. Квадратный корень из π.

– Так интеграл неберущийся, – говорю я, – за исключением одного случая, когда он таким не является.

Где-то среди 10 000 ложек затесался один нож.

– О, – выдыхает Тарин, переворачивая купон, – нам не нужен был крем-сыр?

Я встаю, чтобы проверить содержимое холодильника, и это мгновение исчезает в вечности.

Когда я впервые задумался о написании этой книги, мне представлялась линейная подача материала – нечто вроде продвинутого курса математического анализа с картинками. Таким был путь, который я прошел, будучи студентом и учителем, единственный известный мне путь, имеющий смысл. Но чем дальше я шел по нему, тем мне было противнее. Мне была нужна дорога из желтого кирпича, с яркими красками и волшебством, а то, что я делал, больше напоминало путь по отделам магазина «ИКЕА». Наконец я понял намек, изменил план и начал собирать истории. Некоторые из них соединяют вводные темы (например, Риманова сумма) с продвинутыми (интеграл Лебега). Отдельные темы (скажем, «Рождение математического анализа») превратились в сквозных героев повествования, снова и снова появляясь как абзацы-камео. Некоторые центральные темы (например, «Ряды Тейлора») исчезли вовсе. То, что я представлял себе как классическую нить жемчуга, превратилось в калейдоскоп.

Очевидно, эта книга не является учебником. Но если вы преподаете математический анализ (или изучаете его), я надеюсь, что она будет вашим верным товарищем. Чтобы помочь в этом, ниже я привожу «стандартную» (более или менее) последовательность тем и соответствующие им истории, а также несколько отдельных педагогических идей.

От природы я застенчивый человек, который всегда старается занимать промежуточное положение: я слушаю Coldplay, пью латте и всегда начинаю курс математического анализа с пределов. Но работа над этой книгой заставила меня стать более радикальным: теперь я соглашаюсь на совместные действия с теми хулиганами и злоумышленниками, которые принижают пределы. Не само математическое понятие, а, скорее, идею о том, что до того, как познакомиться с производными и интегралами, студенты должны пройти через тщательное изучение локального поведения абстрактных функций вне контекста. В следующий раз, когда я буду преподавать матан, я собираюсь присоединиться к мятежникам и нырнуть сразу в дифференциацию, вернувшись к понятиям сходимости и неразрывности только тогда, когда они естественным образом всплывут в контексте. Это, как я понимаю, исторически верный путь, а то, что было хорошо для Бернулли, будет на пользу и мне.

Хотя я недоволен пределами как педагогической основой, это не мешает мне оставаться большим поклонником связанных с ними философских загадок. Именно поэтому мне нравится задача о касательной, про которую я здесь рассказал. Она дает конкретное значение понятию «мгновенное движение» и вынуждает сравнивать действия без матана с действиями в его рамках.

Споры о том, какое определение лучше дать производной, не умолкают. Это наклон касательной? Оптимальная локальная линеаризация? Мгновенный уровень изменения? Я предпочел последний вариант, хотя идея «локальной линеаризации» последует очень скоро, в главе «Когда Миссисипи текла на миллион миль» (гл. V).

Я представляю производные функций х2 и х3 (в главе X) и правило произведения (в главе XV) через рассуждения о бесконечно малых. Увы, мой новоприобретенный радикализм снова поднимает голову: если когда-то я считал этот подход противозаконным и даже аморальным, теперь полагаю, что философская выдумка, позволяющая представить dx как «бесконечно малое приращение х», – не самая высокая цена за огромную педагогическую выгоду от привнесения в процесс геометрии.

Наглядная иллюстрация: когда я впервые преподавал математический анализ, я был потрясен, обнаружив, что объем сферы (4/3 πr3), дифференцированный по радиусу, дает ее площадь (4 πr2). Каким образом получилось такое невероятное совпадение? В конце концов я увидел логику: дополнительное приращение радиуса добавляет к объему крошечный внешний слой, фактически равный площади поверхности. Тот факт, который я раньше воспринимал как чисто алгебраический, теперь ощущается глубоко связанным с геометрией благодаря решающему фактору – принять dx и однотипные выражения как (временно) значимые величины.

В некотором роде каноническая производная – это Это метафора, с помощью которой я понимаю многие (или все?) другие производные. Каждый раз, когда мои ученики не могут «открыть какую-то банку», я перефразирую проблему в категориях скорости, и обычно «крышка» тут же отскакивает.