Симпсоны и их математические секреты - Саймон Сингх

Когда эпизод «Узник Бендера» приближается к развязке, Милейший Клайд пишет доказательство на зеленой флуоресцентной доске, а затем заявляет: «В принципе не важно, насколько переставлены ваши разумы; они могут быть возвращены с помощью максимум двух дополнительных игроков».

Теорема Футурамы, записанная на доске Милейшим Клайдом в конце эпизода «Узник Бенды». Баблгам Тейт внимательно изучает детали доказательства, тогда как Бендер (в теле которого находится разум профессора Фарнсворта) восхищенно смотрит на доску. Расшифровку представленного на доске доказательства можно найти в Приложении 5.

FUTURAMA © 2002 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены

Лучший способ понять доказательство, сформулированное в специальных терминах, – сфокусироваться на том, как оно может помочь героям эпизода «Узник Бендера» найти выход из трудного положения, в которое они попали. Фактически это доказательство описывает хорошо продуманную стратегию устранения путаницы, которая начинается с осознания того, что всех людей, обменявшихся разумами, можно отнести к однозначно определенным множествам; в случае «Узника Бенды» таких множеств два. Тщательный анализ диаграммы Сили позволяет сделать вывод, что в первое множество входят Фрай и Зойдберг. Это становится понятно по двум нижним строкам диаграммы, которые говорят о том, что разум Фрая находится в теле Зойдберга, а разум Зойдберга – в теле Фрая. Данную совокупность можно считать множеством, поскольку мы видим, что для каждого тела есть разум, и единственная проблема состоит в том, что эти тела и разумы перепутаны.

Во второе множество входят все остальные персонажи. Диаграмма Сили показывает, что разум профессора оказался в теле Бендера, разум Бендера – в теле Императора, разум Императора – в теле Ведра, разум Ведра – в теле Эми, разум Эми – в теле Гермеса, разум Гермеса – в теле Лилы, а разум Лилы – в теле профессора, что замыкает множество. Эта совокупность тоже считается множеством, поскольку для каждого тела есть разум, но тела и разумы перемешаны.

Определив множества, Килер включил в общую совокупность еще двоих человек, Баблгама Тейта и Милейшего Клайда, которые затем совершают обмен разумами в каждом из двух множеств. Для того чтобы увидеть процесс в действии, давайте начнем с меньшего множества и упорядочим его.

На представленной ниже диаграмме Сили показано, что именно происходит в эпизоде. Мы видим, что этап возврата разумов в свои тела начинается с обмена разумами между Милейшим Клайдом и Фраем (в теле которого находится разум Зойдберга); затем Баблгам Тейт обменивается разумом с Зойдбергом (в теле которого разум Фрая). После еще двух обменов разум Фрая возвращается в свое тело, а разум Зойдберга – в свое.

Милейший Клайд и Баблгам Тейт все еще перепутаны, поэтому очевидно, что на следующем этапе необходимо вернуть их разумы в свои тела, выполнив всего один обмен – и это возможно, потому что они еще не менялись разумами друг с другом. Однако пока это преждевременно. Маскетбольные гении включены в общую совокупность персонажей, обменявшихся разумами, с целью распутать два множества, поэтому их миссия еще не закончена. Следовательно, они должны оставаться с перепутанными телами и разумами, пока не решат проблему со вторым множеством.

Ниже представлена диаграмма Сили, на которой показано девять обменов разумами в процессе упорядочивания второго множества. Нет надобности анализировать ее пошагово, но общая закономерность показывает, как включение Милейшего Клайда и Баблгама Тейта создает место для маневра, необходимое для разрешения ситуации. Оба персонажа вовлечены в каждый обмен разумами, что объясняет высокую плотность диаграммы в нижней четверти. Милейший Клайд и Баблгам Тейт выступают в качестве сосудов для тех разумов, которые ищут свой дом. Получив тот или иной разум, они тут же совершают такой обмен, чтобы этот разум оказался в конечном счете в подходящем теле. Какой бы разум Клайд и Тейт ни получили, они сразу же передают его в соответствующее тело во время следующего обмена и т. д.

Хотя Килер проделал отличную работу, решив задачу обмена разумами и доказав теорему Футурамы, тем не менее важно отметить, что он либо упустил один момент, либо сознательно проигнорировал его, для того чтобы сделать финал эпизода «Узник Бендера» более эффектным. Речь идет о еще одном, более коротком пути решения этой задачи. Если вы помните, для того чтобы распутать любую ситуацию, необходимо ввести двух новых персонажей. Однако в сценарии, который мы анализируем, одно из упорядочиваемых множеств состоит всего из двух человек (разум Фрая в теле Зойдберга и разум Зойдберга в теле Фрая). Следовательно, они могли бы выступить в качестве двух новых персонажей по отношению к более крупному множеству. Это возможно, поскольку Фрай и Зойдберг еще не обменивались разумами ни с одним персонажем, входящим в него.

Двухэтапный процесс возвращения разумов в свои тела, который имеет место в эпизоде, потребовал сначала четырех обменов, а затем еще девяти, что в сумме дает тринадцать обменов. Напротив, если использовать более короткий путь, то все разумы можно было бы вернуть в свои тела посредством всего девяти обменов.

Использование существующего множества для получения двух дополнительных персонажей, необходимых для распутывания другого множества, впервые проанализировал Джеймс Крайм, математик из Кембриджа (Англия). Поэтому некоторые называют этот метод следствием Крайма, которое представляет собой математическое утверждение, вытекающее из теоремы Футурамы.

Теорема Килера вдохновила Рона Эванса, Лихуа Хуана и Туан Нгуен на написание научной работы по теме обмена разумами под названием Keeler’s Theorem and Products of Distinct Transpositions («Теорема Килера и результаты различных транспозиций»), которая была опубликована в журнале American Mathematical Monthly. В этой работе анализируются пути наиболее эффективного разрешения любой ситуации с обменом разумами.

Сам Килер решил не публиковать результаты исследований по задаче с обменом разумами. Он скромно называет свою теорему обычной математической задачей и не очень охотно поддерживает разговоры относительно ее доказательства. По его словам, самое подробное описание ее доказательства было в поддельном сценарии, который он раздал коллегам: «Когда сценарист сдает свой вариант сценария, первый этап процесса редактирования состоит в том, что все остальные сценаристы получают копии и около получаса читают сценарий. В качестве розыгрыша на трех страницах в самом начале сценария я описал сцену, в которой Милейший Клайд во всех подробностях объясняет свою теорему профессору. Некоторые сценаристы с трудом одолели все это описание, ничего не заподозрив, прежде чем поняли, что настоящий сценарий начинается на четвертой странице».