Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Запасы не были принесены – местные жители не поверили, что Колумб мог заставить Луну исчезнуть. Но вечером 29 февраля, когда Луна поднялась над горизонтом, они заметили, что кусочек ее уже был выщерблен. По словам сына Колумба, Фердинанда, постепенное исчезновение Луны с ночного неба повергло туземцев в ужас, после чего «с громким завыванием и причитаниями, со всех сторон они устремились к кораблям, нагруженные продовольствием, умоляя адмирала походатайствовать перед своим богом от их имени». Основываясь на точном расчете, Колумб совместил время своего прощения местных жителей с постепенным возвращением Луны. Возможно, этот рассказ апокрифичен, или приукрашен испанцами для усиления контраста между образованными европейскими завоевателями и несведущими туземцами. Но своей сущностью он демонстрирует могущество математики.

Сила математики в части предсказания событий в ночном небе основывается на улавливании повторяющихся закономерностей. Но как мы можем предугадать что-либо новое? Рассказ о том, как использовать уравнения математики, чтобы заглянуть в будущее, начинается с предсказания поведения простых предметов, таких как футбольный мяч.

Разумеется, футбольный мяч. Не нужно быть математиком мирового уровня, чтобы предсказать это. Но что будет, если я уроню два футбольных мяча одинакового диаметра, один из которых наполнен свинцом, а другой воздухом? Первой мыслью большинства людей будет то, что мяч со свинцом первым коснется земли. Именно так полагал Аристотель, один из величайших мыслителей всех времен.

Своим апокрифическим экспериментом итальянский ученый Галилео Галилей показал, что интуитивный ответ совершенно неверен. Галилей работал в Пизе, где находится всемирно известная падающая башня. Нет удобнее места, чтобы одновременно уронить два предмета, а стоящий внизу ученик посмотрел, какой из них приземлится первым. Галилей доказал, что Аристотель ошибался: оба мяча, хотя они и разной массы, ударятся о землю одновременно.

Галилей понял, что масса предмета не имела значения. Перо падало медленнее, чем мяч, из-за сопротивления воздуха, и, если удастся устранить воздух, перо и мяч упадут за одно время. Найдется и место, где можно проверить эту теорию, – поверхность безвоздушной Луны. В 1971 г. командир экипажа корабля «Аполлон-15» Дэвид Скотт воспроизвел эксперимент Галилея на поверхности Луны, одновременно уронив геологический молоток и перо сокола. Они падали значительно медленнее, чем на Земле, из-за меньшего гравитационного притяжения Луны, но оба предмета упали на поверхность одновременно, как и предсказывал Галилей.

Как позднее сказал диспетчер из Центра управления полетом, этот результат «был обнадеживающим, особенно если учесть, что за экспериментом наблюдало огромное количество зрителей, а успешное возвращение экипажа домой критическим образом зависело от истинности испытуемой теории». Это безусловно верно: космические полеты было бы невозможно планировать без математических уравнений, предсказывающих траекторию полета космического корабля, на который действует притяжение Земли, Солнца, Луны и планет, а также тяга его двигателей.

После того как Галилей обнаружил, что масса падающего объекта не влияет на его скорость, он заинтересовался, можно ли предсказать, за какое время тело долетит до земли. Но предметы падали настолько быстро с вершины Пизанской башни, что не удавалось точно засечь время, поэтому Галилей решил скатывать шары по наклонной плоскости, чтобы увидеть, как изменяется их скорость. Он обнаружил, что если скатывающийся шар проходил 1 меру длины за 1 секунду, то за 2 секунды он проходил 4 меры длины, а за 3 секунды – 9 мер. После этого Галилей мог предсказать, что за 4 секунды шар должен преодолеть 16 мер длины, – другими словами, расстояние, проходимое падающим телом, пропорционально квадрату времени падения. Если воспользоваться математической символикой,

где d – проходимое расстояние, а t – время падения. Множитель g, отвечающий ускорению, обусловленному гравитацией, говорил Галилею о том, насколько менялась скорость падающего предмета за каждую секунду. Если уронить футбольный мяч с вершины Пизанской падающей башни, то через 1 секунду его скорость будет g, через 2 секунды 2g и т. д. Формула Галилея была одним из первых примеров того, как математическое уравнение может быть использовано для описания природы, что впоследствии будет называться законом физики.

Такое применение математики революционизировало методику нашего понимания мира. До того люди использовали повседневный язык для описания природы, что бывает довольно расплывчатым – вы могли бы сообщить, что какой-то предмет падает, но не могли бы сказать, когда он приземлится. Посредством языка математики люди могут не только более точно описывать природу, но и предсказывать, как она будет себя вести в будущем.

Когда Галилей разобрался с тем, что происходит с падающим мячом, его следующим шагом стало предсказание того, что случится, когда мяч пинают.

«Бекхэм подает со штрафного, Руни идеально рассчитал время для нанесения удара с лета… Гол!!!»

Но как Руни сделал это? Вы могли бы считать иначе, но Руни должен быть необычайно хорош в математике, чтобы уметь забивать подобные голы. Каждый раз, когда он замыкает удар со штрафного, исполненный Бекхэмом, Руни подсознательно решает одно из уравнений, придуманных Галилеем, чтобы понять, где очутится мяч.

Уравнения подобны рецептам. Возьмите ингредиенты, смешайте их определенным образом, и на выходе получится результат. Чтобы составить уравнение, которое будет решать Руни, Галилею нужны следующие ингредиенты: горизонтальная скорость летящего мяча u, его вертикальная скорость v, после того как он оторвался от ноги Бекхэма, а также влияние гравитации, которое обобщается числом g, говорящим, насколько изменяется вертикальная скорость мяча с каждой секундой. Величина g зависит от того, на какой планете вы играете в футбол; на Земле гравитация увеличивает скорость на 9,8 м/с за секунду. Уравнение Галилея тогда сообщает Руни высоту футбольного мяча в любой точке, отсчитывая от того места, где был исполнен штрафной. Например, если расстояние от мяча в горизонтальном направлении до того места, где Бекхэм ударил по нему, составляет x метров, то его высота будет y метров. При этом у задается уравнением