Загадка падающей кошки и фундаментальная физика - Грегори Гбур

Наконец, представим, что вы идете с маятником вдоль одной из северных широтных линий — параллелей — Земли. Ни одна из параллелей, за исключением экватора, не является большим кругом; то есть движение по ним нельзя считать прямолинейным движением на сфере. Поэтому, если вы идете с маятником вдоль широтной линии, проходящей, скажем, через парижский Пантеон, то вам, чтобы оставаться на этой линии, все время приходится чуть-чуть поворачивать влево. Вследствие этого по мере вашего движения направление качания маятника будет разворачиваться вправо. Однако, поскольку форма шара естественным образом направляет вас обратно к начальной точке, вам нет необходимости, чтобы попасть туда, поворачивать так сильно, как пришлось бы на плоской поверхности. На плоскости, чтобы вернуться в начальную точку, вам необходимо активно повернуть на 360°; на сфере, чтобы попасть в начальную точку, вы частично поворачиваете сами, а частично следуете за кривизной Земли.

Следовательно, маятник Фуко иллюстрирует собой некоторую геометрическую фазу. То есть базовая геометрия Земли позволяет маятнику вернуться в то же место, но не в том же состоянии, в каком он был до старта. С падающей кошкой происходит нечто очень похожее. В начальный момент ее тело перевернуто вверх лапами и выпрямлено, а затем она проделывает некоторое количество внутренних движений — поворотов и кручений. После того как кошка проделывает эти движения, ее тело обретает первоначальную незакрученную форму (возвращается в то же «место»), но теперь уже лапами книзу (в другом «состоянии»). Кручения и повороты кошки аналогичны движению маятника вокруг Земли, а изменение ориентации кошки аналогично изменению направления оси колебаний маятника. Математически система, демонстрирующая такие изменения, не является голономной, или демонстрирует неголономность.

Существуют различные типы неголономности. В качестве еще одного примера вернемся к нашему полярному путешественнику. Зададимся вопросом: как меняется высота положения путешественника по мере его движения по маршруту? Он может, в принципе, подняться по пути на какой-нибудь холм, то есть высота его положения увеличится, но где-то дальше он обязательно спустится с холма, так что по возвращении в лагерь высота положения окажется прежней.

Предположим теперь, что он путешествует внутри многоуровневого гаража, в котором уровни соединены спиральными пандусами. Если маршрут ведет путешественника вверх по одному из спиральных пандусов, то он все время будет идти только вверх и закончит маршрут точно на этаж выше точки старта. Это еще один пример неголономности: хотя в координатах север — юг — восток — запад этот человек прошел замкнутый маршрут, в результате он оказался в другом месте — на другой высоте. Аналогично маятник в конечном итоге качается в другом направлении, а кошка приземляется в другой ориентации.

Во времена Фуко неголономность маятника, кажется, не произвела особого впечатления на исследователей; они были в восторге от возможности своими глазами наблюдать вращение Земли и стремились вывести точные математические уравнения, которые описывали бы ее движение. Только 100 с лишним лет спустя неголономность в физике получила подлинное признание и оценку, причем в совершенно ином контексте — в квантовой физике.

Почти столетие физики считали, что все сущее имеет двойственную природу — волновую природу и природу частиц; это занятное состояние, называемое корпускулярно-волновым дуализмом, привело, как мы увидим, к возникновению концепции кота Шрёдингера. Когда единичная квантовая частица, такая как электрон, заключена в замкнутое пространство, ее волновые свойства порождают определенные стабильные и относительно простые движения. Эти состояния движения, как ни парадоксально, называются стационарными состояниями, и с каждым из них связано определенное дискретное значение энергии. Зрительно это можно представить себе в виде колеблющейся струны, что математически аналогично квантовой частице, заключенной в одномерный «ящик». Хотя струну можно заставить колебаться с любой частотой (энергией), некоторые частоты соответствуют очень простым колебаниям; именно они представляют собой стационарные состояния струны. Эти состояния можно наглядно продемонстрировать при помощи куска толстой веревки типа скакалки или старого спирального телефонного провода, который надо привязать одним концом к тяжелой опоре и слегка натянуть. Если потрясти свободный конец, на веревке возникнут естественные моды колебаний, аналогичные тем, что можно увидеть на рисунке.

Квантовые частицы, или колеблющиеся волны, можно возбуждать и в «ящиках» более сложных форм. К примеру, волны возникают на круглой поверхности барабана, что аналогично квантовой частице, заключенной в круглый «ящик»; стационарные состояния для нее будут связаны с поверхностью барабана. Для «ящиков» простых форм, круглых или прямоугольных, мы можем математически вычислить энергии стационарных состояний; этим базовым вычислениям учат студентов-физиков.

Однако для «ящиков» более сложных форм вычисления часто не могут быть проделаны напрямую: нахождение стационарных состояний в них может оказаться очень трудным делом. В конце 1970-х гг. Майкл Берри из Университета Бристоля захотел разобраться в стационарных состояниях подобных случаев. В частности, он занимался поиском систем, в которых два или более стационарных состояния в конечном итоге имеют одинаковую энергию; такие ситуации называют вырожденными. Случаи вырождения в задачах, которые исследовал Берри, встречаются бесконечно редко; единственный способ найти их состоит в том, чтобы математически изучить одновременно весь класс систем и выделить в нем те системы, в которых происходит вырождение. Так каждый, кто ищет четырехлепестковый клевер, должен пересмотреть целое поле клевера, чтобы заметить нужный экземпляр среди куда более обычных трехлепестковых растений.

Задачей, исследованием которой занимался Берри, был случай с квантовой частицей, отражающейся от стенок треугольного «ящика», что аналогично волнам, колеблющимся на поверхности треугольного барабана. Изучив стационарные состояния, возникающие во всех треугольных «ящиках», какие только можно вообразить, реально было бы найти те «ящики», в которых происходит вырождение. В контексте этой задачи случаи вырождения называются диаболическими точками — из-за их связи с фигурой в виде двойного конуса, напоминающей игрушку диаболо (а не из-за присущих им дьявольских свойств).

Форму треугольника можно охарактеризовать двумя параметрами, а именно двумя внутренними углами, которые мы обозначим X и Y. Поскольку все три угла любого треугольника в сумме дают 180°, третий угол при выборе двух остальных также фиксируется. Так что Берри и его коллега Марк Уилкинсон вывели математический метод поиска в «ящиках» диаболических точек с любыми возможными величинами X и Y. Но как они должны были узнавать о том, что диаболическая точка найдена? Ученые выявили одно любопытное свойство исследуемой системы. Поскольку в диаболической точке задействованы два различных стационарных состояния в пределах треугольника, обладающие в точности одинаковой энергией, Берри и Уилкинсон выяснили, что если математически «обойти» треугольник из их коллекции, рассматривая X и Y как широту и долготу пройденного пути, то волны двух стационарных состояний перевернутся «вниз головой» за время прогулки, если путь содержал диаболическую точку.