Ритм вселенной. Как из хаоса возникает порядок - Стивен Строгац

Чем больше массив, тем больше количество возможных перестановок, причем это количество растет очень быстро – даже быстрее, чем при нарастании по экспоненциальному закону. В случае 5 переходов существует 24 разнесенных состояния. В случае 10 переходов – 362 880 разнесенных состояний. Визенфельд полагал, что это лавинообразное нарастание может служить основой для разработки многообещающей архитектуры оперативной памяти для будущего компьютера Джозефсона. Каждая память может храниться как особое разнесенное состояние. Вместо статического сочетания «нулей» и «единиц» память кодировалась бы как некая динамическая картина, хоровод электрических состояний в массиве. (Специалисты по нейронным сетям полагают, что примерно так функционирует наша память на запахи; в этом случае осцилляторами являются нейроны в обонятельной луковице головного мозга, а разные шаблоны возбуждения кодируют разные запахи.)

Используя буквально несколько переходов Джозефсона, вы можете создать гигантскую, сколь угодно большую память. Есть лишь одна проблема: чтобы такая схема заработала, каждое состояние должно быть устойчивым, чтобы исключить влияние случайных шумов в электронных схемах. Таким образом, главный вопрос заключается в том, устойчивы ли разнесенные состояния? И как эта устойчивость зависит от нагрузки? В то время Визенфельду не удалось решить эту задачу математически. Более того, он осознал, что ему все еще не хватает глобального понимания. Какие еще факторы, помимо синхронизированных состояний и разнесенных состояний, могут оказывать влияние на соответствующие процессы? И каково совместное влияние всех этих факторов? Визенфельд поставил перед собой амбициозную цель: уяснить все возможные виды коллективного поведения для любого количества переходов, соединенных последовательно – и параллельно любому виду нагрузки.

Когда я познакомился с Визенфельдом в 1990 г. на одной из конференций в Техасе, между нами сразу же установилось полное взаимопонимание. Мы были людьми примерно одинакового возраста, в наших биографиях было много общего, у нас были примерно одинаковые научные интересы. К тому же оказалось, что вместе мы много смеемся. После того как он рассказал мне о своем видении проблемы массивов Джозефсона, я полагал, что нам было бы интересно работать над этой проблемой вместе. Курт, который, возможно, чувствовал свою личную ответственность за то, что увлек меня этой работой, напомнил мне о ее возможных технологических применениях (это нужно было знать на тот случай, если кто-нибудь спросит у меня, почему я выбрал именно это направление исследований, а не какое-то другое). Но, честно говоря, технологические применения не были реальной причиной того, почему эти переходы так интересовали меня и Курта. Главной причиной было чистое любопытство, а также предвкушаемое нами удовольствие от создания математического описания восхитительной системы связанных осцилляторов.

Особенно заманчивыми казались нам сами уравнения. Каждый переход был связан со всеми остальными переходами, причем все эти связи были идентичны. Несмотря на то что физически они были соединены между собой последовательно, подобно звеньям длинной цепи, уравнения сделали их похожими на систему, все элементы которой соединены между собой по принципу «каждый с каждым». Это удивило и восхитило меня. Я был уже знаком с этим странным сверхсимметричным видом соединения по моей предыдущей работе над моделью клеток сердца, предложенной Пескином, а также моделями биологических осцилляторов Уинфри и Курамото. Тогда соединение по принципу «каждый с каждым» было выбрано нами исключительно из соображений целесообразности. Никто не знал, как в действительности должны выглядеть уравнения, поэтому нам представлялось вполне естественным начать с простейшего случая. Разумеется, это была, так сказать, карикатура: реальные клетки сердца и светлячки взаимодействуют сильнее со своими соседями, чем с теми, кто находится вдалеке.

Поэтому когда точно такое же соединение по принципу «каждый с каждым» появилось в уравнениях, описывающих массив Джозефсона, я понимающе ухмыльнулся. Вот она, стандартная аппроксимация. «Нет-нет, – сказал мне Курт, – именно так все обстоит в действительности: в данном случае соединение по принципу “каждый с каждым” является не аппроксимацией, а реальностью». Такой принцип соединения проистекает непосредственно из уравнений цепи[166] и является следствием того факта, что в случае, когда переходы соединены между собой последовательно, через каждый из них протекает одинаковый ток, подобно ведрам воды, которые передают по цепочке люди на пожаре. Он обещал отправить мне по завершении конференции подробное письмо с описанием процессов, происходящих в такой цепи.

Еще до того как я вскрыл конверт, по почерку, каким был написан мой адрес на конверте, я понял, что работа с Куртом доставит мне подлинное удовольствие. Курт отличался безупречным каллиграфическим почерком: каждая буковка выглядела аккуратно и даже элегантно, точно по своим очертаниям и в то же время прихотливо. Принимая в течение многих лет экзамены у аспирантов, я научился делать определенные выводы о характере человека на основе особенностей его почерка и, должен сказать, что мой метод анализа почерка, пусть и непрофессиональный, ни разу не подвел меня: в тех случаях, когда аспирант выводил маленькие аккуратные буковки, что-то наподобие печатного шрифта, я почти не сомневался в высоком уровне его знаний. Это правило, между прочим, ничего не говорит о корявом почерке. Знания аспиранта, который царапает свои ответы как курица лапой, могут быть либо весьма посредственными, либо блестящими, либо какими угодно в этом диапазоне. Но каллиграфический почерк… Нет, такой почерк – всегда хороший признак.

Курт предложил начать с самого простого, идеализированного варианта: двух идентичных переходов Джозефсона, соединенных последовательно и управляемых постоянным током. Допустим, нагрузкой является резистор – опять-таки, самый простой вариант, – а вместо обычных трех каналов, по которым проходит ток в каждом из переходов Джозефсона, действуют лишь два канала: один для сверхтока, а другой для обычного тока. (В случае определенных видов переходов третьим каналом – по которому проходит ток смещения – можно пренебречь, что будет вполне допустимой аппроксимацией.)

Преимущество этих упрощений заключалось в том, что это позволяло нам визуализировать динамику системы, создавая обычные двумерные представления. В любой данный момент каждый переход характеризовался вполне определенной фазой – точно так же, как маятник, сфотографированный в какой-то момент времени, находится под определенным углом к вертикали. Представляя в графическом виде одну фазу по горизонтальной оси, а другую – по вертикальной, мы можем изобразить все возможные сочетания в виде соответствующих точек в неком квадрате, стороны которого соответствуют 360 градусам возможных фаз. Этот квадрат называется «пространством состояний» системы. Он обладает замечательным геометрическим свойством, навевающем воспоминания о старых видеоиграх, в которых космический корабль, уходящий за правый край экрана, чудесным образом появляется из-за левой границы, а космический корабль, ударяющийся о нижний край экрана, возникает наверху. Пространство состояний для этого массива Джозефсона должно было обладать таким же свойством, поскольку фаза, составляющая 360 градусов, физически неотличима от фазы, равной 0 градусов (точно так же как маятник, свисающий вертикально вниз, будет все так же свисать вертикально вниз, если повернуть его вокруг оси на 360 градусов). Поскольку левый и правый края квадрата соответствуют одному и тому же физическому состоянию, математики представляют их как полностью слившиеся в одну линию, как если бы вы свернули лист бумаги в цилиндр, соединив между собой его края. Кроме того, верхний и нижний края квадрата также соответствуют одному и тому же физическому состоянию, поэтому их также следует соединить между собой, а это означает, что верхний и нижний края нашего цилиндра также нужно соединить между собой, в результате чего получится что-то похожее на жареный пончик, поверхность которого представляет собой форму, называемую тором.