Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио

Вопрос этот не из простых. Когда я рассказывал о психологических экспериментах, изучавших визуальную привлекательность золотого сечения, то умышленно избегал слова «красивый». Ту же линию поведения я изберу и здесь, поскольку определение красоты связано с неопределенностью. В какой степени глаз взирающего на математические выкладки воспринимает их красоту, прекрасно видно на примере истории, которую рассказали Филипп Дж. Дэвис и Реубен Херш в своей прекрасной книге «Опыт общения с математикой» (Philip J. Davis, Reuben Hersh. The Mathematical Experience, 1981).

В 1976 году делегация выдающихся математиков из США была приглашена в КНР, чтобы выступить с циклом лекций и провести ряд неофициальных встреч с китайскими математиками. Впоследствии делегация опубликовала доклад под названием «Чистая и прикладная математика в КНР». Под «чистой» математикой сами математики обычно подразумевают те области этой науки, которые, по крайней мере на сторонний взгляд, не имеют прямого отношения к миру вне разума ученого. В то же время нам следует понимать, что мозаики Пенроуза и случайные последовательности Фибоначчи, в частности, представляют собой два из великого множества примеров, когда «чистая» математика превращается в «прикладную». В докладе был приведен диалог между принстонским математиком Джозефом Дж. Коном и одним из китайских математиков, которые принимали делегацию. Диалог был о «красоте математики» и произошел в шанхайском университете Хуа Тун.

Поскольку, как недвусмысленно заявлено в этом диалоге, едва ли существуют официальные, общепризнанные критерии красоты в математике и правила, согласно которым их следует применять, я и предпочту говорить лишь об одной конкретной составляющей математики, которая неизменно доставляет удовольствие как специалистам, так и неспециалистам: о способности изумлять.

В письме, написанном 27 февраля 1818 года, английский поэт-романтик Джон Китс (1795–1821) писал: «Поэзия должна изумлять отточенным превосходством, а не оригинальностью, она должна изумлять читателя, будто воплощение в словах его собственных высочайших помыслов, и казаться чуть ли не воспоминанием». Математика, в отличие от поэзии, вызывает восторг скорее тогда, когда приводит к неожиданным результатам, чем когда подтверждает ожидания читателя. Кроме того, удовольствие, которое доставляет математика, во многих случаях как раз связано с неожиданностью, когда получаешь совершенно непредвиденные результаты и выявляешь поразительные соотношения. Прелестный пример математического соотношения, в истории которого сочетаются все эти элементы, что и приносит огромное удовольствие – это так называемый «закон Бенфорда».

Заглянем, к примеру, в ежегодник «World Almanac», где собраны примечательные факты и всевозможная статистика, и найдем там таблицу «Рынок фермерских товаров в США по штатам» за 1999 год. Там есть колонки «Зерновые культуры» и «Продукты животноводства». Данные приведены в долларах. Наверное, вы считаете, что числа, начинающиеся с цифр от 1 до 9, встречаются среди этих данных примерно с одинаковой частотой. То есть числа, запись которых начинается с 1, составят приблизительно одну девятую всех приведенных чисел, как и числа, запись которых начинается с 9. Однако если их подсчитать, то окажется, что цифра 1 на первой позиции появляется в 32 % случаев, а не в 11, как было бы, если бы цифры появлялись с равной частотой. Цифра 2 также появляется чаще, чем ей полагалось бы – в 19 % случаев. А вот цифра 9 встречается лишь в 5 % случаев, реже, чем ожидается. Вы скажете, что подобная картина в одной случайно выбранной таблице – это странно и даже курьезно, но не то чтобы изумляет; однако стоит вам изучить еще несколько страниц ежегодника (вышеуказанные данные взяты из издания за 2001 год), и впечатление изменится. Заглянем, например, в таблицу, где сведены данные о жертвах «Самых крупных землетрясений» – и обнаружим, что числа, начинающиеся с 1, составляют примерно 38 % всех чисел, а начинающиеся с 2–18 %. Если взять совсем другую таблицу – например, с данными о жителях штата Массачусетс, обитающих в городах с населением свыше 5000 человек, – числа, начинающиеся с 1, составят 36 %, а числа, начинающиеся с 2, примерно 16,5 %. С другой стороны, цифра 9 на первой позиции появляется в этих таблицах лишь примерно в 5 % случаев, гораздо меньше, чем ожидаемые 11 %. Как же получается, что таблицы, в которых приведены столь разнообразные и, очевидно, несвязанные данные, обладают общим свойством, что цифра 1 на первом месте появляется в 30 с чем-то процентах случаев, а цифра девять – приблизительно в 18 % случаев? Ситуация еще сильнее запутывается, если изучить более объемные базы данных. Например, преподаватель бухгалтерского дела Марк Нигрини из школы бизнеса имени Кокса при Южном методистском университете в Далласе изучил население 3141 округов по данным переписи населения США за 1990 год. Он обнаружил, что цифра 1 появляется на первом месте приблизительно в 32 % случаев, 2 – примерно в 17 %, 3 – в 14 %, а 9 – менее чем в 5 %. Аналитик Эдуардо Лей из организации «Resources for the Future» («Ресурсы для будущего») в Вашингтоне обнаружил очень похожую статистику в промышленном индексе Доу-Джонса за 1990 и 1993 годы. Но этого мало, есть и еще один поразительный факт. Если исследовать список, скажем, первых двух тысяч чисел Фибоначчи, то обнаружится, что цифра 1 на первом месте появляется в 30 % случаев, цифра 2 – в 17,65 %, 3 – в 12,5 % – и это количество продолжает падать: число 9 на первом месте появляется всего в 4,6 % случаев. То есть числа Фибоначчи чаще всего начинаются с 1, а другие цифры на первом месте теряют популярность в точности по той же закономерности, что и только что описанные случайные выборки чисел!

«Феномен первой цифры» первым отметил астроном и математик Саймон Ньюкомб (1835–1909) в 1881 году. Он обратил внимание, что в логарифмических таблицах в библиотеке, которыми тогда пользовались при вычислениях, страницы, где были напечатаны числа, начинающиеся с 1 и 2, значительно грязнее последующих, а к концу таблицы становятся все чище и чище. Если бы это были скверные романы, которые читатели бросали на середине, это еще можно было бы понять, однако в случае математических таблиц это очевидно показывало, что числа, начинающиеся с 1 и 2, встречаются чаще других. Однако Ньюкомб не просто установил этот факт, а пошел гораздо дальше – он вывел формулу, которая должна была показывать, с какой вероятностью случайное число начинается с конкретной цифры. Эта формула – она дана в Приложении 9 – дает для 1 вероятность в 30 %, для 2 – примерно 17,6 %, для 3 – около 12,5 %, для 4 – около 9,7 %, для 5 – примерно 8 %, для 6 – приблизительно 6,7 %, для 7 – где-то 5,8 %, для 8 – приблизительно 5 % и для 9 – примерно 4,6 %. Статья Ньюкомба, опубликованная в 1881 году в «American Journal of Mathematics», и открытый им «закон» остались совершенно незамеченными, однако миновало целых 57 лет, и физик Фрэнк Бенфорд из «General Electric» заново открыл этот закон – надо полагать, независимо – и проверил его на огромных массивах данных о речных бассейнах, бейсбольной статистике и даже числах, которые мелькают в статьях в «Reader’s Digest». Все эти данные поразительно точно соответствовали выведенной формуле, и теперь она известна как закон Бенфорда.