Значимые фигуры - Йен Стюарт

* * *

Мы можем оценить идеи Нётер в более знакомом контексте Ньютоновой механики, где они также применимы и позволяют многое понять. Классическая механика может похвастать несколькими законами сохранения, самым известным из которых является закон сохранения энергии. Механическая система – это любое множество тел, которые движутся с течением времени в соответствии с Ньютоновыми законами движения. В таких системах существует понятие энергии, которое принимает несколько различных форм: кинетическая энергия, связанная с движением; потенциальная энергия, возникающая в результате взаимодействия с гравитационным полем; энергия упругости, содержащаяся, к примеру, в сжатой пружине, и другие. Закон сохранения энергии гласит, что при отсутствии трения в системе, как бы она ни двигалась (если движение происходит в соответствии с законами движения Ньютона), полная энергия остается неизменной – сохраняется. Если трение присутствует, то кинетическая энергия переходит в энергию другого вида – в тепло, и опять же полная энергия сохраняется. Тепло – это в действительности кинетическая энергия колеблющихся молекул вещества, но в математической физике оно моделируется иначе, через энергию твердых тел, стержней и пружин, так что ее интерпретация отличается от интерпретации остальных упомянутых типов энергии. Среди других законов сохранения в классической механике – закон сохранения импульса (масса, умноженная на скорость) и момента импульса (мера вращения, формальное определение которой нам здесь не нужно).

Благодаря Галуа (глава 12) и его последователям понятие симметрии удалось отождествить с инвариантностью относительно групп преобразований – наборов операций, которые могут производиться над некоторой математической структурой, оставляя эту структуру практически неизменной. Уравнение обладает симметрией, если некоторое такое преобразование, приложенное к одному из решений этого уравнения, всегда выдает другое его решение. Законы физики, выраженные в виде математических уравнений, обладают множеством симметрий. Ньютоновы законы движения, к примеру, обладают симметриями Евклидовой группы, в которую входят все жесткие перемещения пространства. Кроме того, они симметричны относительно переноса времени – измерения времени от другого начального момента, а в некоторых случаях и относительно отражения времени – изменения направления течения времени на обратное.

Результатом озарения Нётер стало выявление связи между некоторыми типами симметрии и законами сохранения. Она доказала, что каждая непрерывная симметрия – то есть принадлежащая к семейству симметрий, соответствующих непрерывно меняющимся действительным числам, – порождает какую-нибудь сохраняемую величину.

Позвольте мне расшифровать сказанное, поскольку в таком виде все это выглядит довольно загадочно. Некоторые типы симметрии естественным образом присутствуют в составе непрерывных семейств. Вращение плоскости, к примеру, соответствует углу поворота, который может быть равен любому действительному числу. Вместе эти повороты образуют группу, элементы которой соответствуют действительным числам. Стоит отметить еще один технический момент: действительные числа, которые отличаются друг от друга на полный круг (360° или 2π радиан), определяют один и тот же поворот. Все эти «однопараметрические группы» похожи либо на действительные числа, либо на углы. Перенос пространства в заданном направлении, который можно получить посредством жесткого сдвига на любое расстояние в нужном направлении, тоже представляет собой непрерывную симметрию. Другие симметрии могут быть изолированными и не входить в подобное семейство. Пример – зеркальное отражение. Невозможно выполнить половину или, скажем, десятую часть отражения, следовательно, отражение не является частью какой бы то ни было однопараметрической группы жестких перемещений. Инфинитезимальные преобразования, которые исследовала Нётер в своей докторской диссертации, – еще один способ рассмотрения однопараметрических групп. В их основе лежит концепция группы Ли и связанная с ней алгебра Ли, названные в честь норвежского математика Софуса Ли.

В Ньютоновой механике сохраняемой величиной, соответствующей однопараметрической группе временно́го сдвига, оказывается энергия. Этот факт выявляет замечательную связь между энергией и временем, которая проявляется также в принципе неопределенности в квантовой механике, что позволяет квантовой системе заимствовать энергию (которая при этом временно не сохраняется), при условии что она вернет эту энергию обратно, прежде чем природа заметит непорядок (стоит подождать долю секунды – и энергия вновь сохраняется). Сохраняемой величиной, соответствующей однопараметрической группе пространственных переносов, оказывается импульс в соответствующем направлении, а группе вращений – момент импульса. Короче говоря, все фундаментальные сохраняемые величины Ньютоновой механики исходят из непрерывных симметрий Ньютоновых законов движения – однопараметрических подгрупп Евклидовой группы. Этот же принцип выполняется для теории относительности и, до некоторой степени, для квантовой механики.

Неплохо для математика – женщины, которую считали не способной читать лекции и которая лишь недавно начала работать над этой задачей.

На основании успехов Нётер Гильберт и Клейн попытались убедить университет изменить свое отношение к женщинам-преподавателям. В игру вступили как академическая политика, так и прочно въевшийся мужской шовинизм; в общем, профессура факультета философии была категорически против. Если женщина может пройти хабилитацию и брать деньги за лекции, что помешает ей стать профессором и членом университетского сената? Боже сохрани! Первая мировая война была в полном разгаре, и это давало им дополнительный аргумент: «Что подумают наши солдаты, когда вернутся в университет и обнаружат, что им предлагается учиться у женщины?»

Ответ Гильберта был резок и язвителен: «Господа, я не понимаю, почему пол кандидата может быть аргументом против ее принятия на должность приват-доцента. В конце концов, сенат – не баня». Но даже это не сдвинуло философов с занятых позиций ни на миллиметр. Гильберт, как всегда изобретательный и дерзкий, все же нашел решение. В уведомлении на зимний семестр 1916–1917 гг. читаем:

Четыре года Нётер читала лекции под именем Гильберта, пока университет наконец не сдался. Хабилитация была одобрена в 1919 г., что позволило ей получить должность приват-доцента. Вплоть до 1933 г. Нётер оставалась ведущим сотрудником факультета.

Мы можем представить себе способности Нётер как лектора на основании фокуса, который однажды предприняли ее отчаявшиеся студенты. Обычно к ней на лекции являлось 5–10 студентов, но однажды она с удивлением застала в аудитории не меньше сотни молодых людей. «Должно быть, вы ошиблись аудиторией», – предположила она, но молодые люди настаивали, что пришли послушать именно ее. Пришлось ей читать лекцию в таком необычно большом собрании.

Когда Нётер закончила, один из постоянных слушателей ее лекций передал ей записку. «Гости поняли лекцию так же хорошо, как любой из постоянных посетителей».