Искусство статистики. Как находить ответы в данных - Дэвид Шпигельхалтер

Теперь нам нужно ввести идею отношения правдоподобия – понятия, ставшего критически важным при выражении силы судебных доказательств в уголовном судопроизводстве. Судьи и адвокаты постепенно учатся понимать отношения правдоподобия, которые фактически сравнивают относительную поддержку, предоставляемую неким фактом (свидетельством, доказательством) для двух конкурирующих гипотез, назовем их А и В, часто означающих виновность и невиновность. С технической точки зрения отношение правдоподобия – это вероятность факта при условии гипотезы А, деленная на вероятность факта при условии гипотезы В.

Давайте посмотрим, как это работает в случае с пробой на допинг, когда судебный факт – это положительный результат теста, гипотеза А – спортсмен принимал допинг, а гипотеза В – не принимал. Мы приняли, что 95 % допингистов сдают положительный тест, значит, вероятность такого факта при условии гипотезы А равна 0,95. Мы знаем, что 5 % атлетов, не принимающих допинг, сдают положительный тест, поэтому вероятность такого факта при условии гипотезы В составляет 0,05. Следовательно, отношение правдоподобия равно 0,95/0,05 = 19, то есть положительный результат теста в 19 раз более вероятен, когда спортсмен виновен, чем когда невиновен. На первый взгляд это может показаться довольно веским доказательством, но вскоре мы увидим отношения правдоподобия, составляющие миллионы и миллиарды.

Давайте соединим все это в теореме Байеса, которая просто говорит, что

В примере с допингом начальные шансы гипотезы «спортсмен принимал допинг» составляют 1 к 49, а отношение правдоподобия равно 19, поэтому теорема Байеса гласит, что конечные шансы равны

Шансы 19 к 49 можно преобразовать в вероятность 19/(19 + 49) = 28 %. Таким образом, вероятность, которую мы получили более простым путем из дерева ожидаемых количеств, можно вывести и из теоремы Байеса.

На более формальном языке начальные шансы именуются априорными, а конечные – апостериорными[218]. Формулу можно применить еще раз, и тогда апостериорные шансы после первого факта станут априорными перед учетом второго, независимого, факта. При объединении всех этапов процесс эквивалентен умножению независимых отношений правдоподобия и формированию общего составного отношения правдоподобия.

Теорема Байеса выглядит обманчиво простой, но на самом деле в ней заключен чрезвычайно мощный способ получения информации из данных.

Отношения правдоподобия и судебная экспертиза

Согласно популярному мнению, распространению которого активно способствовал сторонник Тюдоров Уильям Шекспир, Ричард III (последний король из династии Йорков) был злобным горбуном. И хотя это довольно спорная (впоследствии опровергнутая) точка зрения, доподлинно известно, что он был убит в битве при Босворте 22 августа 1485 года в возрасте 32 лет, что фактически положило конец войне Алой и Белой розы. Тело его было после смерти изувечено и захоронено в монастыре Грейфрайерс в Лестере, который впоследствии был разрушен, а через какое-то время на его месте построили автостоянку.

С учетом только предоставленной информации мы можем предположить, что скелет принадлежит Ричарду III, если истинны все нижеперечисленные условия:

• он действительно похоронен в монастыре Грейфрайерс;

• его тело не было выкопано, перемещено или уничтожено за следующие 527 лет;

• первый обнаруженный скелет действительно принадлежит Ричарду.

Предположим с изрядной долей пессимизма, что история о его похоронах правдива с вероятностью 50 % и что вероятность того, что скелет по-прежнему находится в месте захоронения в Грейфрайерсе, тоже 50 %. Представьте, что в указанном месте похоронено еще 100 тел (археологи хорошо знали, где копать, поскольку сообщалось, что Ричард похоронен в хоре монастыря). Тогда вероятность того, что все вышеуказанные события подлинны, равна 1/2 × 1/2 × 1/100 = 1/400. Это довольно низкая вероятность того, что найденный скелет – Ричард III; исследователи, которые первоначально проводили анализ, приняли «скептическую» априорную вероятность равной 1/40, так что мы гораздо скептичнее[219].

Однако детально исследовав скелет, археологи получили несколько примечательных результатов криминалистических экспертиз: 1) данные радиоуглеродного анализа костей (который дал 95-процентную вероятность, что они датируются периодом с 1456 по 1536 год); 2) подтверждение, что это был мужчина в возрасте около 30 лет с признаками сколиоза (искривления позвоночника); 3) доказательства того, что тело было изувечено после смерти. Генетический анализ с участием известных потомков его близких родственников (сам Ричард детей не имел) показал общую митохондриальную ДНК (через его мать). Связь по мужской Y-хромосоме не подтвердилась, но это можно легко объяснить разрывом в мужской линии из-за неправильно определенного отцовства.

Ценность каждого из фактов-доказательств можно выразить через их отношения правдоподобия, которые в данном случае определяются как

В табл. 11.1 показаны отдельные отношения правдоподобия для каждого из фактов-доказательств, при этом исследователи были осторожны и намеренно занижали оценки в сторону наименьших отношений правдоподобия, то есть не в пользу того, что это скелет Ричарда III. Но если мы предположим независимость всех результатов, это даст нам право перемножить все эти отношения и получить общую оценку силы всех фактов-доказательств: значение достигнет 6,5 миллиона, что означает «крайне сильное подтверждение». Словесные формулировки, приведенные в табл. 11.1, взяты из шкалы, рекомендованной для использования в суде (см. табл. 11.2)[220].