Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

Eric Temple Bell «Men of Mathematics»[19]. Очень удобен онлайновый ресурс John O'Connor и Edmund Robertson «MacTutor History of Mathematics Archive». Этот снабженный поисковым аппаратом сайт содержит многочисленные биографии и другую ценную историческую информацию.

Эйлеру посвящено много ресурсов, включая ряд новых, появившихся в 2007 году, объявленном «годом Эйлера». Я рекомендую два новых издания: «The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work» под редакцией William Dunham и «Leonhard Euler: Life, Work and Legacy» под редакцией Robert Bradley и Edward Sandifer. Собрание сочинений Эйлера в 76 томах вышло в серии Opera Omnia, а большая часть его работ доступна на сайте Dominic Klyve и Lee Stemkoski «Euler Archive». Полный перевод на английский язык статьи Эйлера «Demonstratio Nonnullarum Insignium Proprietatum Quibus Solida Hedris Planis Inclusa Sunt Praedita», выполненный Крисом Франсезе, доступен на сайте Euler Archive.

Дополнительные сведения о многогранниках имеются в книге Peter Cromwell «Polyhedra». Там можно найти многие из затронутых в книге тем. В этой замечательной книге Кромвелл излагает как историю, так и теорию многогранников.

Авторитетное обсуждение развития формулы Эйлера приведено в книге Imre Lakatos «Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery»[20]. В этой классической работе Имре Лакатос, специализирующийся на философии математики, использует формулу Эйлера и многочисленные доказательства, исключения и обобщения, чтобы представить свою точку зрения на математическое открытие. Подробные сноски, имеющиеся в этой книге, оказались мне очень полезны.

Об истории и содержании утраченной рукописи Декарта «Об элементах геометрических тел» можно прочитать в статье P. J. Federico «Descartes on Polyhedra: A Study of the De Solidorum Elementis». Помимо комментариев, она включает репродукции копии Лейбница с заметок Декарта и их перевод на английский язык.

Что касается теории графов, то нет лучшего чтения, чем изумительные книги и статьи Робина Уилсона с соавторами. По истории теории графов см. Norman Biggs, Keith Lloyd, and Robin Wilson «Graph Theory, 1736–1936». Это прекрасно написанный текст, включающий переводы многих важных статей. Развенчивающий мифы рассказ о кёнигсбергских мостах имеется в статье Brian Hopkins and Robin Wilson «The Truth about Konigsberg». А захватывающее повествование о доказательстве теоремы о четырех красках — в статье Wilson «Four Colors Suffice: How the Map Problem Was Solved».

Есть два отличных справочника по истории топологии. Один — увесистая (больше 1000 страниц) книга «History of Topology» под редакцией I. M. James, другой — чуть более короткая «A History of Algebraic and Differential Topology: 1900–1960» Жана Дьедонне (Jean Dieudonne). Оба текста написаны профессиональными математиками и предполагают достаточно высокий уровень подготовки читателя.

Более доступные работы по эйлеровой характеристике, комбинаторной топологии, геометрии и многомерных многообразиях: книги D. M. Y. Sommerville «An Introduction to the Geometry of n Dimensions», David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen «Geometry and the Imagination»[21], Maurice Frechet and Ky Fan «Initiation to Combinatorial Topology» и Jeffrey Weeks «The Shape of Space». Знающим французский язык рекомендую книгу Jean-Claude Pont «La Topologie Algebrique des Origines a Poincare».

Для тех, кто любит строить топологические поверхности из бумаги и хотел бы попробовать себя в других занятиях, рекомендую книгу Stephen Barr «Experiments in Topology». Каждый любитель математики просто обязан познакомиться с чудесными книгами Мартина Гарднера. В них полно чарующих математических жемчужин. Математическая ассоциация Америки недавно выпустила пятнадцать его книг на компакт-диске под названием «Martin Gardner's Mathematical Games: The Entire Collection of his Scientific American Columns».

Некоторые другие изящные приложения формулы Эйлера описаны в книге Martin Aigner and Gunter Ziegler «Proofs from The Book». Там же приведено элементарное доказательство теоремы Коши о жесткости выпуклых многогранников. Элегантное и наглядное доказательство теоремы классификации поверхностей см. в статье George Francis and Jeffrey Weeks «Conway's ZIP proof». Вышедший в 1884 году роман Edwin Abbott «Flatland: A Romance of Many Dimensions»[22] — одновременно социальная сатира и исследование понятия математической размерности.

Введение в теорию узлов см. в книге Colin Adams «The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots». ее можно использовать в качестве учебника, но читается она скорее как научно-популярная литература.

Sylvia Nasar и David Gruber написали статью для «The New Yorker» под названием «Manifold Destiny: A Legendary Problem and the Battle Over Who Solved it»[23]. В ней они подробно разбирают свару вокруг доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Тёрстона.

Голосование, проведенное среди математиков, показало, что они считают формулу Эйлера для многогранников второй по красоте теоремой во всей математике. Мы видели также еще несколько теорем, вошедших в список 10 лучших: существование пяти правильных многогранников (№ 4), теорема Брауэра о неподвижной точке (№ 6), иррациональность √2 (№ 7) и теорема о четырех красках (№ 9). Если хотите узнать об остальных, прочитайте статью David Wells «Are These the Most Beautiful?».

Приложения к главе

214. Russell (1957).

215. Poincare (1900).

216. Poincare (1904).

217. Там же.

218. Taubes (1987).

219. Smale (1961).

220. Smale (1990).

221. Там же.

222. Stallings (1962); Stallings (1960); Zeeman (1961); Zeeman (1962).

223. Freedman (1982).

224. Smale (1998).

225. Thurston (1982).

226. Hamilton (1982).

227. Perelman (2002); Perelman (2003b); Perelman (2003a).

228. Cao and Zhu (2006a); Cao and Zhu (2006b); Kleiner and Lott (2006); Morgan and Tian (2006).

229. Mackenzie (2006).

230. Дополнительные сведения см. в Nasar and Gruber (2006).

231. Nasar and Gruber (2006).

232. цитируется по Nasar and Gruber (2006).

233. Poincare (1913), 366.

Список литературы

Abbott, E. A. (2005). Flatland: A romance of many dimensions. Princeton, NJ: Princeton University Press. With an introduction by Thomas Banchoff.

Abel, N. H. (1881). Oeuvres completes de Niels Henrik Abel, vol. 2. Christiania, Norway: Imprimerie De Grondahl & Son.

Adams, C. C. (1994). The knot book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. New York: W. H. Freeman.

Aigner, M., and G. M. Ziegler (2001). Proofs from The Book (2nd ed.). Including illustrations by Karl H. Hofmann. Berlin: Springer-Verlag.

Albers, D. J. (1994). Freeman Dyson: Mathematician, physicist, and writer. The College Mathematics Journal 25 (1), January, 2-21.

Alexander, J. T. (1989). Catherine the Great: Life and legend. New York: Oxford University Press.

Allan, D. J. (1975). Plato. In C. C. Gillispie (ed.), Dictionary of scientific biography. Vol. 11, 22–31. New York: Charles Scribner's Sons.

Andrews, P. (1988). The classification of surfaces. Amer.Math. Monthly 95 (9), 861–867.

Appel, K., and W. Haken (1977). Every planar map is four colorable. I. Discharging. Illinois J. Math. 21 (3), 429–490.

Appel,