Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

При построении сети – будь то сеть социальная, физическая или виртуальная – часто бывает желательно иметь шорткаты через паутину соединений. Но теперь мы знаем, как разрабатывать такие системы. Чтобы создать сеть, обладающую свойством тесного мира – этими поразительными шорткатами от одного края сети к другому, – нужно добавить в нее такой случайно выбранный пучок глобальных связей, и это, по-видимому, приводит к требуемому результату.

Гаусс умер в 1855 году, распорядившись, чтобы его мозг был передан для научных исследований. Препарированием мозга занялся его друг и коллега физиолог Рудольф Вагнер из Геттингенского университета: он хотел узнать, были ли у мозга Гаусса какие-либо особенности, благодаря которым тот получил такие способности к созданию математических шорткатов. Эта работа была частью более крупного проекта, проводившегося в университете. Целью этого проекта было выяснить, есть ли какие-либо различия в строении мозга представителей научной элиты и простых обывателей. Не останавливаясь на измерениях объема, веса и тому подобных очевидных параметров, Вагнер утверждал, что кора мозга Гаусса имеет больше извилин, чем в обычном мозге.

Работу Вагнера дополняли гравюры на меди и литографии, подготовленные одним из его сотрудников. Недавно исследовательская группа из Геттингена подтвердила, используя современные методы фМРТ высокого разрешения, что между двумя областями левого полушария мозга Гаусса действительно была довольно необычная связность. Однако той же группе пришлось разбираться со странной путаницей, обнаруженной в коллекции этих материалов. Оказывается, мозг, который много лет считали мозгом Гаусса, на самом деле принадлежал другому представителю научной элиты Геттингена, Конраду Генриху Фуксу, умершему в том же году, что и Гаусс. По-видимому, образцы были перепутаны уже после исследований Вагнера и создания изображений. Путаница обнаружилась, только когда исследователи сравнили результаты фМРТ-сканирования с исходными рисунками.

Начатый в Геттингене XIX века проект изучения строения мозга выдающихся мыслителей продолжается и по сей день. Недавно мозг скончавшихся ученых – «супернормалов», как их называют в лаборатории, – исследовали на кафедре анатомии университета Луисвилла, штат Кентукки. Руководивший этим исследованием профессор Мануэль Казанова обнаружил в мозге профессиональных ученых некоторые структурные отличия.

По-видимому, мозг, специализирующийся на однонаправленном мышлении, отличается изобилием коротких локальных соединений. Человек, обладающий таким мозгом, в основном использует возможности отдельных его участков. Напротив, мозг с длинными соединениями, связывающими друг с другом разные участки, способствует выработке новых идей и нестандартному мышлению.

Рис. 9.6. Мозг Гаусса

Интересно отметить, что это различие, по-видимому, соответствует двум разным способам мышления. «Лиса знает много разного; еж знает одно, но важное», – писал древнегреческий поэт Архилох. Отталкиваясь от этого афоризма, хитрый как лис философ Исайя Берлин разделил мыслителей на две категории[123]. Лисам присущи широкие интересы, горизонтальный способ мышления. Ежи мыслят глубже; их мышление ориентировано вертикально, перпендикулярно мышлению лис. Лису интересует все. Еж одержимо сосредоточен на одном-единственном предмете.

Если изобилие коротких соединений характерно для ежа, а длинных – для лисы, нельзя ли предположить, что человек с мозгом, сочетающим множество таких коротких связей с множеством длинных, будет обладать способностями обоих типов, лисы и ежа? Такой вариант был бы идеальным, но на самом деле для соединений внутри мозга требуются свободное место и метаболическая деятельность. Ограничения, накладываемые геометрией черепа, не позволяют образоваться сочетанию этих двух видов связей.

Но есть альтернативный выход. Сотрудничество. Сотрудничество Гаусса с Вебером привело к созданию телеграфной линии, породившей современный интернет. Обмен знаниями между специалистами в разных областях и создание таких длинных связей между разными разумами создают возможность возникновения чего-то нового и интересного. Иногда в еще не исследованных междисциплинарных областях попадаются ценные находки, достижимые без особого труда. Изучив язык, на котором говорят за пределами нашей специальности, и применив его к нашим собственным задачам, мы можем легко получить важные результаты. Поэтому, в какой бы области вы ни работали, знакомство с идеями другой дисциплины может помочь обеим отраслям в поисках шорткатов к решению их задач.

Возможно, самое совершенное слияние лисы и ежа – это сотрудничество человека с машиной. Хотя моя книга должна прославлять чисто человеческую способность выискивать шорткаты, может быть, не стоит сбрасывать со счетов и то, что могут предложить машины. Хотя машина может вычислять быстрее и дальше методом грубой силы, достижение целей, не дающихся ни человеку, ни машине по отдельности, становится возможным только в сочетании с тем хитроумием, с которым люди находят удобные шорткаты.

Головоломка, с которой начинается эта глава, – это то самое задание, которое я получил, когда сдавал психометрический тест. Благодаря шорткату Эйлера я знаю, что начертить такую фигуру невозможно, потому что в ней более двух узлов, из которых исходит нечетное количество линий. Однако есть один прием, все же позволяющий ее начертить. Возьмите лист бумаги и загните его нижнюю четверть. Начертите квадрат, начиная с левого верхнего угла, причем так, чтобы нижняя сторона квадрата оказалась на загнутой полоске; завершив квадрат, не отрывайте карандаш от бумаги. Отогните загнутую часть: на бумаге останутся три стороны квадрата, а ваш карандаш будет в его левом верхнем углу. Если проанализировать оставшуюся часть фигуры, будет видно, что она соответствует критерию Эйлера.

Рис. 9.7. Прием, позволяющий начертить искомую фигуру: загните бумагу

Сети встречаются повсюду. В структуре компаний. В электрических схемах компьютеров. Во взаимозависимостях опционов на акции. В транспортных сетях. Во взаимодействии клеток нашего организма. Во взаимоотношениях персонажей романов. Всюду, где есть набор объектов и какие-либо связи между ними, возникает сеть. При изучении любой структуры всегда имеет смысл проверить, не скрыта ли в ней какая-нибудь сеть. Потому что, если такая сеть найдется, в вашем распоряжении будут математические средства, помогающие ориентироваться в ее архитектуре. Средства выявления самых важных узлов сети. Стратегии преобразования сетей в тесные миры, в которых есть быстрые пути между разными концами сетей. Топологические схемы, отбрасывающие излишнюю информацию и помогающие увидеть, что на самом деле происходит в системе.