Значимые фигуры - Йен Стюарт

Геометрия природных процессов не часто следует стандартным математическим моделям, в ней редко встречаются шары, конусы, цилиндры и другие гладкие поверхности. Горы изобилуют трещинами, уступами и имеют неправильную форму. Облака пушисты, в них есть вспучивания и волокнистые структуры. Деревья последовательно ветвятся, переходя от ствола к сучьям и веткам. Ветви кустов часто выглядят как множество маленьких веточек, связанных вместе противолежащими парами. Сажа под микроскопом выглядит как множество крохотных частиц с промежутками между ними. Они очень далеки от гладкой округлости шара. Природа избегает прямых линий и не слишком увлекается положениями из Евклида и текстов по математическому анализу. Мандельброт пустил в обращение название для подобных структур: фракталы. Он энергично и с большим энтузиазмом продвигал использование фракталов в науке, при моделировании многих нерегулярных природных структур.

Ключевое слово здесь «моделирование». Возможно, Земля представляется нам примерно шарообразной – эллипсоидной, если вы хотите более точного описания, – и такое представление немало помогло физикам и астрономам разобраться в таких вещах, как приливы и наклонение земной оси, но математические объекты – это лишь модели, а не сама реальность. Они отражают некоторые черты природного мира в идеализированном виде – достаточно простом, чтобы человеческий мозг способен был его анализировать. Но поверхность Земли далека от идеала: карта – не реальная местность и не должна ею быть. Карту Австралии можно сложить и положить в карман, откуда при необходимости всегда можно извлечь, но с самой Австралией невозможно проделать подобный трюк. Карта должна быть гораздо компактней территории, которую она изображает, но при этом давать об этой территории полезную информацию. Математическая сфера всегда идеально гладкая, сколько ее ни увеличивай, но реальность на атомном уровне рассыпается на квантовые частицы. Однако это не относится к гравитационному полю планеты, поэтому в данном контексте это можно и нужно игнорировать. Воду можно с успехом моделировать как бесконечно делимую среду, хотя настоящая вода становится дискретной, когда вы переходите на молекулярный уровень.

То же с фракталами. Математический фрактал не просто случайная фигура. Он имеет детальную структуру на всех масштабах увеличения. Часто – одинаковую структуру на всех масштабах. Такие формы называют самоподобными. Во фрактальной модели куста каждая ветвь состоит из меньших ветвей, которые, в свою очередь, состоят из еще более мелких ветвей, и этот процесс не имеет конца. В настоящих кустах он останавливается в лучшем случае через четыре-пять шагов. Тем не менее фрактал, как модель, лучше, чем, скажем, треугольник. Точно так же, как эллипсоид в качестве модели Земли может быть лучше, чем шар.

Мандельброт прекрасно сознавал, какую видную роль в предыстории фракталов сыграли польские математики и тот весьма абстрактный подход к анализу, геометрии и топологии, развиваемый и продвигаемый небольшим кружком математиков, многие из которых регулярно встречались в Шотландском кафе во Львове. В этот кружок входили основатель функционального анализа Стефан Банах и Станислав Улам, принимавший активное участие в Манхэттенском проекте создания атомной бомбы и предложивший, собственно, основную идею водородной бомбы. Их единомышленником являлся и Вацлав Серпинский из Варшавского университета, придумавший фигуру, которая была «одновременно канторианской и жорданианской и каждая точка которой была точкой ветвления». То есть непрерывную кривую, которая пересекает саму себя в каждой точке.

Позже Мандельброт в шутку назвал эту фигуру прокладкой из-за сходства с дырчатой прокладкой, которая устанавливается в автомобиле между головкой блока цилиндров и двигателем[31]. Вспомним, что ковер Серпинского – представитель небольшой группы примеров, возникших в начале XX в. и известных как патологические кривые, хотя в природе, да и в математике они вовсе не патологичны – просто математикам того времени казались очень уж странными. Структуры, подобные ковру Серпинского, можно обнаружить на раковинах морских моллюсков. Так или иначе эту фигуру можно построить при помощи пошаговой процедуры на основе равностороннего треугольника. Для этого следует разделить его на четыре конгруэнтных равносторонних треугольника вполовину меньшего размера. Затем центральный треугольник – перевернутый – следует вырезать. После этого повторяем весь процесс в отношении каждого из трех оставшихся треугольников, и так до бесконечности. Ковер – это то, что получится, когда мы вырежем все перевернутые треугольники, но не их границы.

Первые несколько этапов построения треугольника Серпинского

В настоящее время они считаются ранними фракталами. Мандельброт вдохновлялся ими:

Немногие математики-теоретики, которые интересовались такими понятиями, обнаружили, что степень шероховатости фрактала можно охарактеризовать числом; они назвали это число «размерностью» фрактала, поскольку оно согласуется с обычной размерностью для стандартных геометрических фигур вроде прямой, заполненного квадрата или куба, размерности которых составляют 1, 2 и 3 соответственно. Однако размерность фрактала не обязательно должна выражаться целым числом, так что интерпретация размерности как «числа независимых направлений» уже неприменима. Теперь важно, как фигура ведет себя при увеличении.

Если сделать отрезок прямой вдвое больше, его длина увеличится в 2 раза. Удвоение квадрата увеличит его площадь в 4 раза, а удвоение куба увеличит его объем в 8 раз. Эти числа – 21, 22 и 23, то есть 2 в степени, соответствующей размерности фигуры. Если «ковер» увеличить вдвое, его можно разделить на три копии оригинала. Так что 2 в степени, равной размерности фигуры, должно равняться 3. Следовательно, размерность составляет ln 3/ln 2, то есть приблизительно 1,585. Более общее определение, не ограниченное самоподобными фракталами, называется размерностью Хаусдорфа – Бесиковича, а более практичный вариант – размерностью Минковского (рассчитывается путем подсчета клеток на чертеже). Размерность фрактала полезна в приложениях и представляет собой один из способов проверить фрактальную модель экспериментально. Таким образом, к примеру, удалось показать, что облака хорошо моделируются фракталами, причем размерность фотоизображения (с проекцией на плоскость проще работать, на ней проще проводить измерения) составляет примерно 1,35.