Нечеткая логика - Феликс Ланге

Восточная культура предлагает системы убеждений, которые не базируются на точной бинарной логике и четкости фактов, эта культура предполагает существование противоречий между фактами, Инь и Ян. Задолго до Аристотеля Будда уже размышлял иным путем, не позволяя загнать свои суждения в рамки «или-или». Он хранил благородное молчание, задаваясь бинарными вопросами, например, бесконечна ли Вселенная или же имеет четко очерченные границы.

Современные буддийские монахи дзен обучают медитировать на коанах – коротких вопросах, диалогах, не имеющих логической подоплеки, более доступных интуитивному пониманию: например, как выглядело ваше лицо прежде чем вы родились? Или, как одна рука воспроизводит хлопающий звук при соприкосновении с другой? Иными словами, путем медитации на коанах осуществляется попытка выйти за черно-белые рамки сознания. Даже Мао Цзэдун, китайский государственный и политический деятель XX века, писал работы на тему противоречий.

Давайте снова рассмотрим яблоко, которое, допустим, вы держите в руке, а затем откусываете от него по кусочку. Сначала то, что вы держите в руках, можно на 100 % назвать яблоком, чем оно и будет на самом деле являться. Когда вы откусываете яблоко часть за частью, оно перестает быть яблоком, то есть процент существования яблока падает со 100 % до 0 %, пока вы не съедите его полностью. На протяжении процесса у вас в руках будет находиться лишь 50 % яблока, поскольку половину вы уже съели. Проценты постепенно передают значения яблока как целого предмета до полного его отсутствия. Если мы нарисуем график, соответственно которому яблоко будет исчезать, то обозначим проценты линиями, где каждая линия будет занимать конкретное место относительно 100 % и 0 %. Эти линии будут отображать конфликт и противостояние между двухвалентностью и нечеткостью. Нечеткость или многовалентность будет содержать в себе информацию о процессе между строк. Когда в стакане не много воды, мы определяем его заполненность определенными рамками, – например, говорим, что стакан полон на 5 % или 10 %, тем самым сводя количество воды в стакане к определенной отметке. На деле же мы смотрим, к какой из отметок, 5 % или 10 %, находится ближе уровень воды, и округляем уровень воды до этой цифры. Здесь и кроется нечеткость.

Зачастую округление подходит, чтобы сгладить небольшие углы, когда дело касается цифр. Но что произойдет в случае, если мы решим округлить средние значения? В какую сторону и до какого значения нам стоит округлить 50 % – до 0 % или же до 100 %? Вопрос будет заключаться уже не в том, наполовину пуст стакан или же наполовину полон, а в том, пуст или полон рассматриваемый нами стакан в целом. Взаимодействие и использование средних значений в современной математике имеет отсылку к так называемым парадоксам. Математики применяют термин парадокс к среднему значению для того, чтобы делать свои предположения о пограничных случаях и исключениях. Фактически они возникают на основах бивалентной математики и логики. Математический парадокс – это такое высказывание, которое в теории может быть равно доказано и как истина, и как ложь. То есть, парадокс – это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказывающее как само суждение, так и его отрицание.

Одним из широко известных является теоретико-множественный «Парадокс брадобрея», открытый Бертраном Расселом в начале XX столетия. Рассел сформулировал известный парадокс о множестве всех множеств, которые не являются элементами самого себя. Суть парадокса заключается в противоречии при рассмотрении вопроса о принадлежности самому себе множества всех множеств. Его изложение имеет несколько различных формулировок. Одна из них такова:

«В полку служил парикмахер, которого также называли брадобреем. Однажды командир приказал ему побрить только тех, кто не бреется сам. Многие солдаты умели бриться сами, соответственно, брадобрею нужно было брить только тех, кто сам не умел. Тогда у брадобрея возник вопрос: брить ли ему самого себя? Ведь если он будет бриться, то нарушит приказ командира не брить тех, кто бреется сам. Брадобрей решил, что брить себя он не будет, но тогда понял, что если он сам себя брить не будет, то окажется, что он сам не бреется, и по приказу командира он должен все-таки себя побрить».

Рассмотрим подробнее. Если брадобрей бреется сам, то он принадлежит ко множеству тех, кто бреется сам. Но в заявлении утверждается, что брадобрей никогда не бреет тех, кто входит в это множество. Следовательно, наш брадобрей не может брить самого себя. Если же его бреет кто-нибудь другой, то он принадлежит к числу тех, кто не бреется сам. Но в заявлении сказано, что он бреет всех, кто не бреется сам. Следовательно, получается, никто другой не может брить этого брадобрея. Похоже, что его не может брить никто! Бертран Рассел предложил парадокс брадобрея, чтобы облечь в более наглядную форму знаменитый парадокс, обнаруженный им в теории множеств. Некие математические конструкции приводят к множествам, которые включают себя в качестве одного из своих членов. Например, множество, содержащее все, что не является яблоком, само не является яблоками и, следовательно, не должно содержать себя в качестве одного из членов. Рассмотрим теперь множество всех множеств, не содержащих себя в качестве одного из членов. Получается, что противоречия избежать невозможно. Любой ответ приводит к противоречию.

Нечеткая интерпретация рассматривает полупустой стакан и парикмахера-брадобрея как усредненные явления. Утверждения о них и возможные заявления, которые описывают их, являются «полуправдами». Они правдивы и действительны на 50 %, а не на 100 % или же на 0 %. Если мы будем настаивать на 100 %-ной истине заполненности стакана или парикмахерской деятельности брадобрея, то мы просто-напросто будем иметь дело с двухвалентным парадоксом. Именно это мы и видим на примере стакана, который заполнен наполовину.

За перетягиванием каната между двухвалентностью и многовариантностью лежит уравнение. Двухвалентность гласит, что уравнения не существует или же оно не имеет логического смысла. Многозначность считает, что оно существует в некоторой степени. В крайних случаях оно существует в полной мере или же, наоборот, совсем не существует. Поскольку редакторы исключают подобные уравнения из книг, подобно тому как садовники выкорчевывают сорняки из своих цветочных садов, уравнение, которое мы рассмотрим ниже, пожалуй, центральное уравнение данной книги и нечеткой логики, будет называться уравнение Инь-Ян. Несомненно, для ученых, логиков и математиков оно покажется смешным, но тем не менее вот оно:

А = не А

Как вы уже догадались, это – противостояние фактов в форме уравнения. Вместо того чтобы написать «Факт А и одновременно не факт А», знак равенства уравновешивает две пропорции по обе его стороны. Таким образом, парадокс двухвалентного рассуждения сводится к уравнению Инь-Ян: полупустая чаша подразумевает, что чаша наполовину заполнена, и наоборот. Мы можем нарисовать картину уравнения Инь-Ян в действии, точнее, последовательность изображений, где уравнение Инь и Ян будут взаимодействовать в разных степенях. Вспомните диаграмму Венна, в которой дано схематичное изображение всех возможных отношений нескольких подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде фигур все остальные рассматриваемые множества: предположим, что мы разрезаем прямоугольник или коробку на две части: часть А и часть не А, набор А и набор не А. Мы разделили линией ящик яблок на красные и не красные яблоки. Таким образом, мы проводим четкую границу между двумя частями яблок: А и не А.