Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры - Алекс Беллос

Вторая книга серии «Начала математики» вышла в свет в 1940 году, а третья — в 1942-м. После перерыва по причине войны в конце десятилетия было опубликовано еще несколько томов. Поскольку прежние члены группы достигли возрастного предела, в состав группы были включены новые члены. К 1950-м годам книги Бурбаки заняли доминирующие позиции в университетской математике во Франции и сохраняли за собой этот статус на протяжении следующих двух десятилетий. Эта математическая «секта» начала напоминать мафию, поскольку ее действующие и бывшие члены (в том числе ряд самых блестящих французских математиков) занимали высшие должности в университетах. После перевода книг Бурбаки на английский язык они оказали существенное влияние и на англоязычный мир.

Лучшее время для группы Бурбаки наступило в период эскалации холодной войны. Правительства стран Запада осознали, что им необходимо полностью изменить систему преподавания естественно-научных дисциплин, для того чтобы не отставать от Советского Союза, только что запустившего в космос первый спутник[172]. Идеология бурбакизма, гласившая, что абстрактные формальные системы важнее интуиции и решения задач, просочилась из университетов в школы. Политики и представители системы образования решили, что ответом на красную угрозу станет включение теории множеств в учебную программу. Преподавание математики было реорганизовано, в результате чего поколение школьников 1960-х и 1970-х годов изучало «новую математику» в лице теории множеств.

Со временем влияние Бурбаки в университетских аудиториях и школьных классах ослабло. Например, такие области исследований, как фракталы, полностью зависят от компьютеров и визуального отображения, поэтому пристрастие Бурбаки к структуре устарело. За последние десятилетия математика развивалась благодаря взаимодействию с другими науками, а не за счет самоизоляции от них. В итоге школьникам больше не преподают теорию множеств. Однако вопреки сообщениям о кончине Николя Бурбаки, которому скоро исполнится восемьдесят лет, он живет и здравствует.

Сейчас ядро группы состоит из пяти математиков. Я встретился с одним из них в кафе у Люксембургского сада в Париже. Кодекс секретности по-прежнему действует, поэтому мне разрешили рассказать только о том, что этот член группы носит бороду и был одет в рубашку пурпурного цвета и соломенную шляпу. Кроме того, он выдающийся ученый, известный профессор. Я спросил, сколько людей знают о его участии в группе Бурбаки. «Большинству моих коллег это хорошо известно, но я не признал бы этого. Многие не принимают наши идеи, — сказал он. — Некоторые заявляют, что группа Бурбаки бесполезна и должна прекратить свою деятельность».

Последняя книга из серии «Начала математики», посвященная алгебре, вышла в свет в 2012 году, а новая (о топологии) готовится к публикации в настоящее время. Группу Бурбаки обвиняют в том, что ее пристрастие к строгости фактически нанесло ущерб французской математике. Книги, публикуемые группой, трудны для восприятия, а значит, их нельзя эффективно использовать в качестве учебных пособий. Кроме того, они не оставляют места для творчества и интуиции. «Даже мои ближайшие коллеги убеждены в том, что это не те книги, которые нужны нынешним математикам», — признался мне человек в пурпурной рубашке. Я спросил его, согласен ли он с этим мнением. «Ответ неочевиден. Очевидно лишь то, что такая работа — когда мы собираемся все вместе, вычитываем строку за строкой и каждый имеет возможность высказать свои возражения и исправить ошибки — позволяет получить в итоге нечто особенное и, будем надеяться, стоящее. Идеи, изложенные в этих книгах, — это совокупный продукт многих людей. Математики не могут делать все исключительно своими силами».

Я спросил, не считает ли он устаревшим тот уровень строгости, которого придерживаются бурбакисты. «Думаю, такая строгость уместна сейчас даже в большей мере, чем раньше, — ответил он. — Существует разница между строгостью и сухостью. Мы стараемся быть строгими, но не сухими». В действительности этот член группы уверен в том, что современные университетские учебники кое-чем обязаны Бурбаки. «Сейчас признание того, что доказательство не является достаточно строгим по стандартам книги, — общепринятая практика. В каком-то смысле тот уровень строгости, которого придерживаются математики, именно такой [как у Бурбаки]». В то же время этот член группы согласен с критическими замечаниями в адрес первой книги. «Некоторые книги Бурбаки — просто хорошие. Некоторые чрезвычайно хорошие. Но теория множеств — полная ерунда». Когда я напомнил ему о том, как группа Бурбаки определяет единицу, было заметно, что ему неприятно об этом говорить. «Эта часть не выдерживает критики. Не нужно знать, что такое единица. Нужно знать, что можно делать с единицей».

Тем не менее мой собеседник сказал, что очень гордится членством в группе Бурбаки. Ему тридцать лет, и он как раз стал профессором, когда получил первое приглашение от Николя Бурбаки присутствовать на следующем собрании, которое предполагалось провести в шато у Луары. Он объяснил, что большинство математиков принимают такие приглашения, хотя немногочисленные женщины, получившие его, ответили отказом. Сейчас, будучи полноправным членом группы, этот человек считает своим историческим долгом помочь ей завершить ту работу, ради которой она была создана, — довести до конца публикацию книг серии «Начала математики». Запланировано выпустить четыре последние книги серии. Мой собеседник понимает, что эти книги вряд ли увидят свет до того, как ему исполнится пятьдесят лет и он выйдет из состава группы. Но он считает, что возрастное ограничение — это хорошо, поскольку поддерживает жизнеспособность группы.

Теория множеств — это один из подходов к построению основы для математики. Другой подход находится сейчас в процессе формирования и подразумевает использование компьютеров. Система для проверки доказательств — это элемент программного обеспечения, проверяющий правильность логических выводов, имеющихся в доказательстве[173]. Хотелось бы верить, что когда-нибудь компьютеры смогут доказать любое математическое утверждение[174]. Если вы захотите убедиться в том, что теорема верна, вам будет достаточно просто нажать кнопку.

Первой крупной теоремой, доказанной с помощью компьютера, стала теорема о четырехцветной карте, или теорема о четырех красках. Мы с вами уже удостоверились, что любой машинальный рисунок может быть двухцветным, другими словами, что мы можем заштриховать его фрагменты так, чтобы две смежные области всегда были разных цветов. В 1852 году проживающий в Лондоне выходец из Южной Африки Френсис Гатри раскрашивал карту графств Англии. Он обнаружил, что для раскраски карты таким образом, чтобы соседние графства имели разные цвета, достаточно четырех красок. Эксперименты показали, что четырех цветов хватает и для того, чтобы раскрасить так любую карту. Однако больше столетия никто не мог это доказать, пока в 1976 году Кеннет Аппел и Вольфганг Хакен из Иллинойского университета не сделали это, воспользовавшись суперкомпьютером для проверки всех вероятных конфигураций карт. Математики отреагировали неоднозначно[175]. В принципе должна существовать возможность проверить каждую строку доказательства. Но компьютер выполнил слишком большой объем вычислений, для того чтобы можно было их все проверить, а это противоречило эталону доказательства теорем, использовавшемуся со времен Евклида. Однако помимо сугубо философских возражений против такого метода доказательства теорем существовали и другие претензии практического плана. В программах всегда есть ошибки. Разве могли Аппел и Хакен быть полностью уверены в том, что в их программе их нет? Нет, не могли. На самом деле в их доказательстве до сих пор находят новые компьютерные ошибки, хотя все обнаруженные ошибки были исправлены. В 1995 году группа исследователей Принстонского университета составила усовершенствованное компьютерное доказательство теоремы о четырехцветной карте. А в 2004 году Джордж Гонтье из исследовательской лаборатории компании Microsoft в Кембридже (Англия) проверил его с помощью специальной программы, определяющей корректность доказательств, хотя для этого ему пришлось перевести все концепции на специальный язык программирования, который понимала эта программа. Но тогда возникает следующий вопрос: разве можно быть уверенным в том, что такая программа-помощник не содержит ошибок? Нет, полной уверенности в этом нет, однако ее уровень все же выше, чем в случае исходных доказательств, поскольку эта программа была многократно протестирована при выполнении многих других задач. В настоящее время доказательство теоремы о четырех красках — одно из наиболее тщательно проверенных в математике.